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Intégrale sur des ensembles équipotents

Posté par
SkyMtn 21-07-17 à 20:27

Bonjour ! C'est peut être un peu bête comme question, mais elle me trotte dans la tête depuis quelques jours.
Si on a X \simeq Y (deux ensembles équipotents) sur lesquels on peut définir une tribu, et une mesure... par exemple \R^2\cong \R \times \R (avec une mesure produit par exemple pour le cartésien)...  Est-ce qu'on a \int_X f \,\mathrm d\mu_X = \int_Y \hat f\,\mathrm d\mu_Y (avec \hat f qui correspondrait à une composition de f par la bijection liant X et Y) ?

Je ne sais pas si c'est possible... ça met venu à l'esprit et ça me semble intéressant pour voir l'intégration sur des pavés de \R^d = \R^{\{1,2,...,d\}} avec des "produits cartésiens emboités" (comme (\R\times \R)\times\R\cong \R^3... :/) pour des intégrales multiples en toute rigueur (afin d'itérer Fubini par exemple).

Merci par avance pour vos réponses ou potentiels éclaircissements, voire correctifs (hypothèses... ou même si mon idée est complètement absurde)

Posté par
WilliamM007re : Intégrale sur des ensembles équipotents 21-07-17 à 23:31

Bonsoir,

Je ne saisis pas bien la motivation.

Citation :
Je ne sais pas si c'est possible... ça met venu à l'esprit et ça me semble intéressant pour voir l'intégration sur des pavés de \R^d = \R^{\{1,2,...,d\}} avec des "produits cartésiens emboités" (comme (\R\times \R)\times\R\cong \R^3... :/) pour des intégrales multiples en toute rigueur (afin d'itérer Fubini par exemple).

Vraiment, je ne vois pas bien l'utilité. On peut déjà itérer Fubini comme on veut, et les intégrales multiples s'expriment déjà en toute rigueur.

Citation :
Si on a X \simeq Y (deux ensembles équipotents) sur lesquels on peut définir une tribu, et une mesure... par exemple \R^2\cong \R \times \R (avec une mesure produit par exemple pour le cartésien)...  Est-ce qu'on a \int_X f \,\mathrm d\mu_X = \int_Y \hat f\,\mathrm d\mu_Y (avec \hat f qui correspondrait à une composition de f par la bijection liant X et Y) ?

Strictement aucune raison que \hat f soit mesurable, donc l'intégrale peut ne même pas avoir de sens. Il faut donc supposer qu'il existe une bijection mesurable entre X et Y, et même bi-mesurable (c'et-à-dire de réciproque mesurable) si on veut passer la propriété dans l'autre sens.
Ensuite,  les mesures respectives sur X et Y étant a priori totalement décorrélées, c'est impossible que cette égalité demeure. En effet, imaginons qu'elle soit vraie avec \mu_X. Alors, elle devrait aussi être vraie avec 2\mu_X, ce qui est impossible si l'intégrale est non nulle.
Il est clair qu'il doit y avoir une relation entre \mu_X et \mu_Y. Le lien le plus naturel est justement le contexte du théorème de Fubini, déjà bien connu.

Posté par
SkyMtnre : Intégrale sur des ensembles équipotents 21-07-17 à 23:48

Du coup il faut plus d'hypothèses concernant les mesures et la bijection :/

Posté par
WilliamM007re : Intégrale sur des ensembles équipotents 22-07-17 à 10:22

Si \varphi:X\to Y est mesurable, sans forcément être bijective, et que \mu_Y=\mu_X\circ\varphi^{-1}, c'est-à-dire que \mu_Y est définie pour tout A appartenant à la tribu de Y par
\mu_Y(A)=\mu_X(\varphi^{-1}(A))

Alors, pour tout fonction f:Y\to\R mesurable bornée (ou positive),
\int_Xf(\varphi(x))\,\mu_X(dx)=\int_Yf(y)\,\mu_Y(dy)

C'est notamment ce qui permet d'affirmer, avec des notations assez standard :
\mathbb E[f(X)]=\int_Ef(x)\,\mathbb P_X(dx)

Il y a d'autres propriétés du même genre, avec bien évidemment à chaque fois une relation très forte entre f et \hat f, et \mu_X et \mu_Y.

Encore une fois, quelle est ta motivation exactement ?

Posté par
SkyMtnre : Intégrale sur des ensembles équipotents 28-07-17 à 23:21

Si on suppose X et Y homéomorphes... les mesures "conservent" l'isomorphisme ?


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