Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Licence Maths 1e ann AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Licence Maths 1e ann
Partager :

Intégrale sur un volume

Posté par
TheBartov 10-06-13 à 15:57

Bonjour à tous ! J'ai un exercice de maths qui me cause quelques soucis : il faut calculer une intégrale sur un volume. Cependant, je ne trouve pas les bornes d'intégration adéquat... pouvez vous m'expliquer comment faire ?

Énoncé :

Citation :
On note le tétraèdre défini par les plans :
P1: x+y+z=0
P2: x+y-z=0
P3: x-y-z=0
P4: 2x-z=0

Calculer : (x+y+z)(x+y-z)(x-y-z)dxdydz



Je note alors (changets de variables):

u=x+y+z
v=x+y-z
w=x-y-z

On tire : (vérification de mes calculs par calculateur : img1)

x=\frac{u+w}{2} \\ y=\frac{v-w}{2} \\ z=\frac{u-v}{2}

Je calcule alors la jacobienne Jd(u,v,w)/d(x,y,z) et le jacobien |J|, et je trouve que :

\frac{D(u,v,w)}{D(x,y,z)}=|-4|=4

Ainsi on doit calculer :

I=\frac{1}{4}\iiint_{\nu} uvw dudvdw

Mais maintenant, comment fait-on pour trouver les bornes ?
Doit-on utiliser la dernière équation en disant :

2x-z=2(\frac{u+w}{2})-\frac{u-v}{2}=u+w+\frac{v-u}{2}=\frac{1}{2}u+\frac{1}{2}v+w=0

Soit le plan dans la base {u;v;w}(img2):

P: \frac{1}{2}u+\frac{1}{2}v+w=0

Mais maintenant ? Comment faite pour trouver les bornes de u, v et w ?

NOTE IMPORTANTE AU(x) MODÉRATEUR(s): Je sais ce topic avait déjà fait apparition samedi dernier, mais j'ai fait pas mal d'erreurs en posant mon problème, ce qui a rendu le topic inutile, car chaque contribution était un hors sujet. Je m'excuse au-près de tous ceux qui y ont perdu leur temps. Cette question est très importante pour moi car elle fera l'objet d'une exercice de mes partiels de la semaine prochaine,
cordialement.



* Tom_Pascal > OK pour cette fois, mais la prochaine fois, veille à bien poser ton énoncé correctement. Le multi-post n'est pas en effet absolument pas toléré sur le forum ! *


Intégrale sur un volume

Intégrale sur un volume

Posté par
TheBartovre : Intégrale sur un volume 10-06-13 à 16:17

ATTENTION : faute de frappe !!

P4: 2x-z=1

D'ou le plan : 0.5u+0.5v+w=1

Posté par
miltonre : Intégrale sur un volume 10-06-13 à 16:46

salut
voilà qui est mieux
pour trouver les sommets prends les equation en bloc de trois à trois .

Posté par
TheBartovre : Intégrale sur un volume 10-06-13 à 16:51

J' ai avancé dans le calcul ! Je trouve que:

U: [O; 2]
V: [O; 2-U]
W :[O; 1-(U+V)/2]

Posté par
miltonre : Intégrale sur un volume 10-06-13 à 16:55

non oubil ton logiciel et fait ce que je t'ai ecrit pour trouver les sommets

Posté par
TheBartovre : Intégrale sur un volume 10-06-13 à 16:59

Je l'ai fait sans le logiciel. J ' utilise uniquement le logiciel pour vérifier mes calculs. Ne me croyez pas attends de discalculite !

Posté par
TheBartovre : Intégrale sur un volume 10-06-13 à 17:01

Les sommets C'est pas pareil que les bornes. Les fonctions V,U, W ne sont pas constantes ! Elles dépendent l'une de l'autre ..

Posté par
miltonre : Intégrale sur un volume 10-06-13 à 17:08

je sais ;les bornes telles que tu le dis s'obtiennent à partir des sommets plus precisement des triangles,j'ai pas un stylo sous la main pour verifier tes calculs,donc si tu en es sure tu peux engager tes calcul grace à Fubini.si non tu peux me faire voir tes calculs

Posté par
TheBartovre : Intégrale sur un volume 10-06-13 à 17:18

Je pense que mes calculs sont bons. J'ai vérifier mes résultats dans les équations de base, et ça colle. Les sommets sont 2, 2 et pour u, v et w.

Posté par
delta-Bre : Intégrale sur un volume 11-06-13 à 01:29

Bonsoir

@TheBartov
Je te rappelle ce que je t'avais écrit dans l'autre topic, et si tu l'avais lu, ce topic n'aurait pas lien d'être

Citation :
Non ce n'est pas , , comme l'a dit ton prof, est bien un tétraèdre (au sens solide) dont les faces sont situées sur les plans x+y+z=0, x+y-z=0, x-y-z=0 et 2x-z=1
Le changement de variables proposé ramène l'intégrale triple donnée en une intégrale triple de la fonction f(u,v,w)=uvw sur un tétraèdre dont 3 faces sont sur les  plans des coordonnées. Si au+bv+cw=d (a,b,c,d donc à déterminer) est l'équation du 4ème plan, on aura alors en posant  

\Large{w_1=\frac{d-(au+bv)}{c}, v_1=\frac{d-au}{b}   et   u_1=d/a:}

\Large{I=\iiint_{\nu} (x+y+z)(x+y-z)(x-y-z) dxdydz=\int_0^{u_1}\left(\int_0^{v_1}\left(\int_0^{w_1}Juvwdw\right)dv\right)du}  


Tu as trouvé: (moi je n'avais pas fait tous les calculs)

D'ou le plan : 0.5u+0.5v+w=1

U: [O; 2] \\ V: [O; 2-U] \\ W :[O; 1-(U+V)/2]  

et si l'un compare nos résultats

u = U,  v = V,  w = W

a=0.5,    b=0.5,   c=1,   d=1,  u_1=2,  v_1=2-U,  w_1=1-(U+V)/2

u_1= d/a=1/(0.5)=2, v_1=(1-au)/b = (1-0.5u)(0.5)=2-u,  w_1=w_1=(d-(au+bv)/c = 1-(0.5u+0.5v)=1-(u+v)/2.
    

Posté par
TheBartovre : Intégrale sur un volume 11-06-13 à 09:27

Effectivement, on arrive au même résultat mais votre méthode demande un arsenal de formules que je risque d'oublier. Il est plus commode pour moi de raisonner arec les mains!

Cependant, je vous remercie de notre aide. Et puis-je vous demander une dernière question ? J'ai un calcul d'aire et de volume autours d'axes de révolutions et on nous d donner ces deux formules sans explications... pouvez Vous me dire d'où elle viennent ? C'est juste pour ma culture !

A=2\Pi \int_a^b f(t) ds

où

ds= ((\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2)^{1/2}

Et pour = Ox

V=\Pi \int_a^b y^2 dx

Posté par
delta-Bre : Intégrale sur un volume 11-06-13 à 11:57

Bonjour.

@TheBartov

Ne me fais le coup de l'autre topic.
Je ne pourrai guère t'aider si tu ne me dis pas que A est l'aire de quoi et V est le volume de quoi? mais les propriétés d'être une surface ou un volume de révolution sont bien utilisées (présence des facteurs 2 pour A et pour V. (Voir les théorèmes de Guldin)
L'expression de ds que tu as écrite est incomplète.

Posté par
TheBartovre : Intégrale sur un volume 11-06-13 à 12:02

Je parle de formules générales. Je voulais juste savoir s'il y avait une démonstration simple. C'est pas un exercice que je demande de résoudre. Ca
vient du cours sur les figures de révolutions.

effet il me manque un dt (étourderie)

Posté par
delta-Bre : Intégrale sur un volume 12-06-13 à 00:08

Bonsoir.

@TheBartov.

Mêmes dans les formules générales les termes utilisés sont définis.
Les notations A et V représentent des aires et des volumes, tu avait parlé de surface et de volume de révolution, j'en ai déduit que tu cherchait
1) [b]l'aire d'une surface de révolution, générée par la rotation d'une courbe plane autour d'un axe de symétrie de son plan et ne la coupant pas.
2) [b]le volume d'un solide de révolution, généré par la rotation d'une surface plane autour d'un axe de symétrie de son plan et ne la coupant pas.

C'est pour ça que j'avais renvoyé aux théorèmes de Guldin (qui donnent les formules adéquates). A toi de vérifier ensuite que les "formules" que tu as données sont bien des applications des théorèmes de Guldin.  

Posté par
TheBartovre : Intégrale sur un volume 12-06-13 à 00:17

Merci bien. Le truc c'est que le prof nous a lâché ça comme ça
sans plus d'explications. Donc ce chapitre là c'est un peu système D. C' est pour ca que ça pêche dans mes définitions.

Je vous remercie encore ! Bonne nuit à vous !

TheBartov


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1760 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !