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intégrale valeur moyenne

Posté par
Nelcar 27-04-21 à 09:36

Bonjour,
le prof nous a donné la suite du chapitre à lire avec l'exercice qui est corrigé du livre mais je ne comprend pas. Voici cet exercice :
1) soit f la fonction définie sur [0;12] par f(t)=10e-0,15t
a) Étudier le sens de variation de la fonction f
b)calculer I=120 f(t) dt
2) un médicament est injecté par voie intraveineuse. On suppose que la quantité présente dans le sang exprimée en milligrammes, à l'instant t, exprimé en heures, est modélisée par la fonction f. Calculer, à un dixième de milligrammes près, la quantité moyenne de médicament présent chaque heure dans le sang pendant les 12 heures suivant l'injection.

1a) f est dérivable sur [0;12] et f'(t)= -1,5e-0,15t<0. Donc f est décroissant sur [0;12]
ok (je n'aurai pas pensé à dériver mais c'est bon)
b) la fonction F définie sur [0;12] par F(t)= -200/3 *e-0,15t est une primitive de f sur [0;12]. Donc I= F(12)-F(0)=200/3(1-e-1,/

je n'arrive pas à savoir comment ils ont fait pour trouver cette primitive

merci pour vos explication

MERCI

Posté par
heklare : intégrale valeur moyenne 27-04-21 à 09:55

Bonjour Nelcar

f(t)=10\text{e}^{-0,15t}  

(\text{e}^u)'=u'\text{e}^u\quad u(t)= -0,15t ,\ u'(t)=-0,15

on a donc \dfrac{-1}{0,15}\times(-0,15) \text{e}^{-0,15t}

Une primitive est alors \dfrac{-10}{0,15} \text{e}^{-0,15t}

\dfrac{10}{0,15}=\dfrac{20}{0,3}=\dfrac{200}{3}

Posté par
Nelcarre : intégrale valeur moyenne 27-04-21 à 10:08

Bonjour Hekla,

pas facile du tout de travailler ,seul sans prof, soit
Merci pour l'explication, c'est bon j'ai compris

pour le 2)
le corrigé met : on calcule la valeur moyenne de la fonction f sur [0;12] : =1/12 l=50/9(1-e-1,8) 4,6

j'ai du mal à comprendre la question , j'ai vu ce que le corrigé a fait mais je n'aurai pas pensé à faire les 1/12 de 200/3

MERCI

Posté par
heklare : intégrale valeur moyenne 27-04-21 à 10:22

Ce qui m'étonne un peu, c'est que vous dites que vous n'auriez pas pensé à dériver.
C'est pourtant ainsi depuis l'an dernier que l'on détermine le sens de variation à partir du signe de la dérivée.

C'est pourtant la définition de la  valeur moyenne

\mu=\dfrac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\mathrm{d}x

Comme vous avez déjà calculé \int_0^{12}\text{e}^{-0,15t} il ne restait plus qu'à diviser par 12

Posté par
Nelcarre : intégrale valeur moyenne 27-04-21 à 10:30

ben oui hekla, voilà mon problème par moment je ne sais plus ce qu'il faut faire. C'est sûr que l'on doit toujours dériver pour avoir le sens de variation. Je vais essayer de le graver dans ma mémoire.

OUI je n'avais pas vu la définition de la valeur moyenne. Merci j'ai noté la définition


MERCI BEAUCOUP

Posté par
heklare : intégrale valeur moyenne 27-04-21 à 11:06

Je n'ai pas noté toute la définition notamment la fonction doit être continue et positive sur l'intervalle [a~;~b]

Posté par
Nelcarre : intégrale valeur moyenne 27-04-21 à 11:10

ok hekla,

je vais regarder dans mon livre

Encore un grand MERCI


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