Vois si cela t'aide.

On peut ramener cette intégrale à l'intégrale d'un fonction
rationnelle.

Poser tg(x) = t    (x=0 -> t = 0 et x = Pi/4 -> t = 1)
(1/cos²x).dx = dt
(1/cos²x) = 1 + tg²x = 1 + t²

S(de 0 à Pi/4) [tg^n(x)] dx = S(de 0 à 1) [t^n/(1+t²)] dt

Cette dernière ne posant aucun problème quel que soit n.

Un exemple pour n = 7:

t^7/(1+t²)
on fait la division euclidienne et il vient:

t^7/(1+t²) = (t^5-t^3+t) - (t/(t²+1))

Dont l'intégration est immédiate:
t^6/6 - t^4/4 + t²/2 - (1/2).ln(1+t²)

avec les butées 0 et 1 ->
l'intégrale = (1/6) - (1/4) + (1/2) - (1/2).ln(2)

Si tu veux généraliser, étudie la division de t^n par (t²+1)
probablement en considérant séparément les cas de n pair et n impair.

cela donnera t^(n-2) - t^(n-4) + t^(n-6) - ...

et le dernier terme  au signe près devrait être (t/(t²+1)) ou (1/(t²+1))

L'intégration est dans les 2 cas immédiate ...
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Sauf distraction.   Vérifie  



  

merci beaucoup. j'aurais jamais pensé à une telle solution.
En terminale nous n'avons pas vu ce genre de tranformations de
fonctions. Il se trouve que c'est dans un annale de bac de l'année
1980. Peut etre que ces procédés étaient encore enseignés.

sinon j'aimerais savoir si il est possible de determiner plus
simplement integrale de 0 a pi/4 de tan²x dx

bonjour

en effet, tu obtenir le resultat plus facilement si n=2 en utilisant
le fait que x->tan(x)  a pour derivée x->tan²(x)+1, dans ce cas,
tu as:
int (tan²(x),x,0,Pi/4)=int((1+tan²(x))-1,x,0,pi/4)
                                   =int(1+tan²(x),x,0,pi/4)-int(1,x,0,pi/4)
                                   =[tan(x)-x](0,pi/4)
                                   =1- pi/4
où int(f(x),x,a,b) designe l'integrale de f(x) entre a et b

En esperant que l'explication a ete suffisament claire...

Au fait, une question pour JP, les changements de variables sont toujours
au programme de TS???

Oui merci ton explication est très claire
Etant en terminale S, je me permets de répondre a ta question.
Les changements de variables je n'en ai jamais entendu parler, du
moins celles avec laquelle J P a résolu mon pb. Jamais entendu parlé
non plus de division euclidienne. Ma prof de maths nous fait assez
souvent comprendre que beaucop de choses on été suprimé du programme,
peu etre a tort.