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Posté par
Samsco 15-02-21 à 13:33

Bonjour , j'ai besoin d'aide svp .

Exercice:

Calculer les intégrales suivantes .

$a) \int_{-2}^{3}|x-1|dx \\ \\ b) \int_0^{\pi}\left|\cos(2x)\right|dx \\ \\ c) \int_0^{\pi/2}|\sin x-\cos x|dx \\ \\$

Réponses:

a) Soit f(x)=|x-1|
f est negative sur [-2 ; 1] et positive sur [1 ; 3]

$\int_{-2}^{3}|x-1|dx=\int_{-2}^11-x~dx+\int_1^{3}x-1~dx \\ \\ =[x-(1/2)x²]_{-2}^1+[(1/2)x²-x]_1^3 \\ \\ \int_{-2}^3|x-1|=13/2$

b) Soit g(x)=cos(2x)

g est positive sur [0 ; π/4]U[3π/4 ; π] et négative sur [π/4 ; 3π/2]

$\int_0^{\pi}|g(x)|=\int_0^{\pi/4}\cos(2x)~dx-\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\cos(2x)~dx+\int_{3\pi/4}^{\pi}\cos(2x)~dx \\ \\ =[(1/2)\sin(2x)]_0^{\pi/4}-[(1/2)\sin(2x)]_{\pi/4}^{3\pi/4}+[(1/2)\sin(2x)]_{3\pi/4}^{\pi} \\ \\ \int_0^{\pi}|g(x)|=2$

c) je n'arrive pas à trouver le signe de sinx-cosx sur [0 ; π/2]

Posté par re : Intégrales 15-02-21 à 13:43

Bonjour
pour sin(x)-cos(x), mets 2 en facteur

Posté par re : Intégrales 15-02-21 à 15:14

Je vois , sinx-cosx=√2. sin(x-π/4)

Sur [0 ; π/4] , sinx-cosx ≤ 0
Sur [π/4 ; π/2] , sinx-cosx ≥0

$\int_0^{\pi/2}\sin x-\cos x~dx=\int_0^{\pi/4}\cos x-\sin x~dx+\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin x-\cos x~dx \\ \\ =[\sinx+\cos x]_0^{\pi/4}+[-\cos x-\sin x]_{\pi/4}^{\pi/2} \\ \\ \int_0^{\pi/2}|\sin x-\cos x|dx=2\sqrt{2}-2$

Posté par re : Intégrales 16-02-21 à 20:44

Merci !

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