Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths spé AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau maths spé
Partager :

Intégrales à paramètres

Posté par
sammaths 07-01-18 à 09:40

Bonjour et bonne année à tous !

Voici mon problème : Soit f(x) = \int_{0}^{+\infty }{\frac{e^{-t}}{x^2 + t^2}dt}

Déterminer Df, montrer que f est continue sur Df, puis que f est de classe C1 sur Df et déterminer un équivalent aux bornes de Df.

Ou j'en suis :
Je trouve Df = ]-inf,0[ U ]0,+inf[, or f est paire donc je limite mon étude sur R+*
J'ai réussi à montrer que f est continue et C1 en appliquant les théorèmes du cours sur un segment [a,b] mais je bloque pour l'équivalent en 0 et +-inf
Je me doute qu'on à montrer que f est C1 pour l'utiliser mais je ne voit pas comment intégrer f'(x) = \int_{0}^{+\infty }{\frac{-2x e^{-t}}{(x^2 + t^2)^2}dt}

Merci d'avance

Posté par
boninmire : Intégrales à paramètres 07-01-18 à 10:37

Bonjour,

Tu recherches, je suppose, la limite en 0 de cette intégrale.
Il n'est pas nécessaire d'intégrer, tu dois pouvoir majorer en valeur absolue par une expression intégrable.

Posté par
sammathsre : Intégrales à paramètres 07-01-18 à 11:00

Sur un segment [a,b] inclus dans ]0,+inf[ on aura : \frac{ e^{-t}}{x^2 + t^2} \leq \frac{ e^{-t}}{a^2 + t^2}

qui est intégrable mais et si on peut appliquer le théorème de convergence dominée on a en 0 : lim (f(x)) = \int_{0}^{\infty }{\frac{e^{-t}}{t^2}dt}  à calculer ??

Sinon le fait que f est C1 sert surement pour l'équivalent en l'infini

Posté par
boninmire : Intégrales à paramètres 07-01-18 à 11:40

Ne te braque pas sur le fait de "calculer". Il s'agit de majorer, minorer convenablement. La dernière intégrale que tu viens d'écrire n'est sûrement pas convergente, à cause de la borne en 0. Il faut probablement couper l'intervalle [0,+[ en morceaux, [0,] et [,+[ et appliquer une méthode différente sur chaque morceau.

Posté par
sammathsre : Intégrales à paramètres 07-01-18 à 11:52

Oui justement j'ai vu ce problème de convergence

Je vois pas trop ce que l'on fait..
On aurait : \int_{0}^{\infty }{\frac{e^{-t}}{x^2+t^2}dt} = \int_{0}^{1}{\frac{e^{-t}}{x^2+t^2}dt} + \int_{1}^{\infty }{\frac{e^{-t}}{x^2+t^2}dt} \leq \int_{0}^{1}{\frac{e^{-t}}{x^2+t^2}dt} + \int_{1}^{\infty }{\frac{e^{-t}}{t^2}dt}
et ensuite ?

Posté par
perroquetre : Intégrales à paramètres 07-01-18 à 12:44

Bonjour, sammaths.

équivalent en 0:

On pose le changement de variable  t=xu pour obtenir:
f(x) = \frac{1}{x} \int_0^{+\infty} \frac{e^{-xu}}{1+u^2} du
Et comme
\lim_{x\rightarrow 0} \int_0^{+\infty} \frac{e^{-xu}}{1+u^2} du  = ... = \frac{\pi}{2}
...

équivalent en +\infty:

"On sent que"     f(x) \underset{x\rightarrow +\infty}{\sim} \int_0^{+\infty} \frac{e^{-t}}{x^2} dt = \frac{1}{x^2}

Pour obtenir rigoureusement cet équivalent, on écrit que:
\frac{1}{x^2}-f(x)= \int_0^{+\infty} e^{-t}\left( \frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2+t^2}\right) dt  = \int_0^{+\infty} \frac{t^2 e^{-t}}{x^2(x^2+t^2)} dt \leq \int_0^{+\infty} \frac{t^2e^{-t}}{x^4} dt
....

Posté par
sammathsre : Intégrales à paramètres 07-01-18 à 16:32

Bonjour, merci pour cette réponse !

On a donc en 0 : f(x)\sim_{0} \frac{\pi}{2x}

Ensuite, on a : 0 \leq \left|\frac{1}{x^2}-f(x) \right| \leq \frac{1}{x^4} \int_{0}^{\infty }{t^2 e^{-t}}dt et comme \int_{0}^{\infty }{t^2 e^{-t}}dt = 2 (par double IPP) mais à la limite c'est pas la peine de la calculer on conclu par le théorème d'encadrement :  en + et - l'infini (car f paire) : f(x)\sim_{\infty } \frac{1}{x^2}
Correct ?

Et juste, comment avez vous fait pour savoir qu'il fallait poser le changement de variable t=xu ou comment avez vous intuité l'équivalent en l'infini ?

Posté par
sammathsre : Intégrales à paramètres 07-01-18 à 16:40

Ah oui, et le fait que f soit C1 n'a donc servit à rien ?!

Posté par
boninmire : Intégrales à paramètres 07-01-18 à 18:05

Je crois que j'ai mal lu l'énoncé et donné des conseils à côté de la plaque ...

Posté par
perroquetre : Intégrales à paramètres 07-01-18 à 19:21

1) Attention, f(x) est équivalent à \frac{\pi}{2x} au voisinage de 0+  (le changement de variable t=xu n'a été fait que pour x>0; pour x<0, il y a une petite modification, mais il est plus simple d'utiliser la parité de f).

2) En effet, le fait que f soit C1 ne sert pas pour déterminer un équivalent de f en 0 ou en +.

3) Ces recherches d'équivalents sont des questions difficiles si l'énoncé ne donne pas d'indications. On apprend progressivement à trouver les idées qui interviennent en faisant quelques exercices de ce type.

Posté par
sammathsre : Intégrales à paramètres 08-01-18 à 22:45

Mais comme f est paire, l'équivalent en 0+ n'est pas le même qu'en 0- ?

Posté par
perroquetre : Intégrales à paramètres 08-01-18 à 23:46

Un équivalent en 0-  est    -\frac{\pi}{2x}    ...

Posté par
sammathsre : Intégrales à paramètres 13-01-18 à 14:14

Super merci de votre aide !


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !