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Intégrales : changement de variable

Posté par
Stan88 06-07-13 à 15:19

aujourd'hui je m'attaque aussi à la résolution d'intégrale par changement de variable,

Mais pour ce type de résolution (que je n'ai jamais appris dans mon cursus), je pas mal de problème de compréhension
j'ai la formule de base, mais je n'arrive à la retranscrire dans les exercices,

pourrais-je avoir un exemple avec la A ?

Intégrales : changement de variable

Posté par
Priamre : Intégrales : changement de variable 06-07-13 à 15:24

Pour A, je proposerais le changement de variable  sin x = t .

Posté par
ThierryPomare : Intégrales : changement de variable 06-07-13 à 15:49

Soyons un peu plus rigoureux ! A ce titre, posons

\varphi:\left\{\begin{array}{lcl}[0,\,1]&\rightarrow&\left[0,\,\frac{\pi}{2}\right]\\s&\mapsto&\arcsin\,s\end{array}\right.
qui est une bijection continue strictement croissante de [0,\,1] sur \left[0,\,\frac{\pi}{2}\right] et telle que \varphi^{(1)}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} pour tout x de [0,\,1]. D'autre part, \cos\,\varphi(x)=\sqrt{1-\sin^2\varphi(x)}=\sqrt{1-x^2} pour tout x de [0,\,1]. Ainsi obtient-on
A=\int_{\varphi(0)}^{\varphi(0)}\left(2\,\sin^2s-1\right)\,\cos s\,ds=\int_0^1\left(2\,\sin^2\varphi(s)-1\right)\,\cos\varphi(s)\,\varphi^{(1)}(s)\,ds=\int_0^1(2\,s^2-1)\,ds=\cdots

Avec tout mon respect,

Thierry

Posté par
ThierryPomare : Intégrales : changement de variable 06-07-13 à 15:52

Errata : Lire

A=\int_{\varphi(0)}^{{\red\varphi(1)}}\left(2\,\sin^2s-1\right)\,\cos s\,ds=\cdots

Posté par
ThierryPomare : Intégrales : changement de variable 06-07-13 à 16:08

Errata : Soyons un peu plus rigoureux ! A ce titre, posons

\varphi:\left\{\begin{array}{lcl}[0,\,1]&\rightarrow&\left[0,\,\frac{\pi}{2}\right]\\s&\mapsto&\arcsin\,s\end{array}\right.
qui est une bijection continue strictement croissante de [0,\,1] sur \left[0,\,\frac{\pi}{2}\right] et telle que \varphi^{(1)}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} pour tout x de [0,\,1[. D'autre part, \cos\,\varphi(x)=\sqrt{1-\sin^2\varphi(x)}=\sqrt{1-x^2} pour tout x de [0,\,1]. Ainsi obtient-on
\int_{\varphi(0)}^{\varphi(u)}\left(2\,\sin^2s-1\right)\,\cos s\,ds=\int_0^u\left(2\,\sin^2\varphi(s)-1\right)\,\cos\varphi(s)\,\varphi^{(1)}(s)\,ds=\int_0^u(2\,s^2-1)\,ds=\cdots
pour tout u de [0,\,1[. Finalement,
A=\lim\limits_{u\to 1-}\int_0^u(2\,s^2-1)\,ds=\cdots

Avec tout mon respect,

Thierry

Posté par
ThierryPomare : Intégrales : changement de variable 06-07-13 à 16:28

Sinon, comme Priam le proposait, il y a beaucoup, beaucoup plus simple. Posons
\varphi:\left\{\begin{array}{lcl}\left[0,\,\frac{\pi}{2}\right]&\rightarrow&[0,\,1]\\s&\mapsto&\sin\,s\end{array}\right.
qui est une bijection continue strictement croissante de \left[0,\,\frac{\pi}{2}\right] sur \left[0,\,1\right] et telle que \varphi^{(1)}(x)=\cos x pour tout x de \left[0,\,\frac{\pi}{2}\right]. En se servant de ton identité et posant f(x)=2\,x^2-1 il vient alors que
A=\int_0^{\frac{\pi}{2}}f\left(\varphi(s)\right)\,\varphi^{(1)}(s)\,ds=\int_{\varphi(0)}^{\varphi\left(\frac{\pi}{2}\right)}f(t)\,dt=\int_{0}^{1}f(t)\,dt=\cdots

Désolé !!!!

Posté par
delta-Bre : Intégrales : changement de variable 06-07-13 à 17:32

Bonjour.

@ThierryPoma.

En étant trop rigoureux, Stan88 risque fort de ne plus vous suivre.

Faisons lui apparaitre plutôt la formule telle qu'elle l'a écrite.

On remarque que dans A; on a (\sinx)'=\cosx/tex]), en posant [tex]f(t)=2t^2-1 et \phi(x)=\sinx, on a alors :

\phi'(x)=\cosx  et  f(\phi(x))\phi'(x)=(2\sin^2x-1)\cosx.

La fonction \phi(x)=sinx est croissante continue sur [0,\pi/2] de dérivée continue sur [0,\pi/2], elle définit donc une bijection entre [0,\pi/2] et son image [0,1] avec \phi(0)=0 et \phi(\pi/2)=1.
De plus f est aussi continue (donc l'intégrale définie \int_0^{\pi/2}(2sin^2x-1)\cos x dx existe). on a donc avec t=\phi(x)=\sin(x):

\int_0^{\pi/2}(2sin^2x-1)\cosx dx=\int_0^{\pi/2}f(\phi(x))\phi'(x) dx=\int_{\phi(0)}^{\phi(\pi/2)}f(t)dt=\int_0^1(2t^2-1)dt=.....

Posté par
Stan88re : Intégrales : changement de variable 13-07-13 à 19:20

Bonjour

Pourrait-on m'éclairer sur les termes :

-Bijection
-Injection
-Surjection

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Intégrales : changement de variable 13-07-13 à 20:23

Rester au nivau du poseur de question est important.

Avec un poil moins de rigueur mais plus accessible très probablement pour Stann 88


A)
(2sin²(x)-1).cos(x) dx
Changement de variable proposé : sin(x) = t
---> cos(x) dx = dt

(2sin²(x)-1).cos(x) dx = (2t²-1) dt
Et donc S (2sin²(x)-1).cos(x) dx = S (2t²-1) dt = 2t³/3 - t = 2sin³(x)/3 - sin(x)

S(de 0 à Pi/2) (2sin²(x)-1).cos(x) dx = [2sin³(x)/3 - sin(x)](de 0 à Pi/2)
S(de 0 à Pi/2) (2sin²(x)-1).cos(x) dx = 2sin³(Pi/2)/3 - sin(Pi/2) - (2sin³(0)/3 - sin(0)) = 2/3 - 1 = -1/3

-----
Un peu différemment :

A)
(2sin²(x)-1).cos(x) dx
Changement de variable proposé : sin(x) = t
---> cos(x) dx = dt

(2sin²(x)-1).cos(x) dx = (2t²-1) dt
Et donc S (2sin²(x)-1).cos(x) dx = S (2t²-1) dt

avec sin(x) = t :
Si x = 0 ---> t = 0
Si x = Pi/2 ---> t = 1
Et donc :
S(de 0 à Pi/2) (2sin²(x)-1).cos(x) dx = S(de 0 à 1) (2t²-1) dt = [2t³/3 - t](de0à1) = 2/3 - 1 - 0 = -1/3
--------

B)
sin(x)/(1+cos(x))² dx

Changement de variable proposé : cos(x) = t
-sin(x) dx = dt

sin(x)/(1+cos(x))² dx = - dt/(1+t)²

Avec cos(x) = t
Si x = 0 ---> t = 1
Si x = Pi/3 ---> t = 1/2

S (de0 à Pi/3) sin(x)/(1+cos(x))² dx = - S (1 à 1/2) dt/(1+t)² = [1/(1+t)](1 à 1/2) = 1/(3/2) - 1/2 = 1/6
-----
C)

Changement de variable proposé : 1+x² = t²
x dx = t dt
...

-----
D)
Changement de variable proposé : 1+x = t²
dx = 2t dt
...

-----
E)
1/(x²+6x+11) = (1/[(x+3)²+2]

Changement de variable proposé : x+3 = V2 * t
dx = V2 dt

1/(x²+6x+11) dx = 1/(2t²+2).V2 dt = (1/V2) dt/(1+t²)
...
-----
Sauf distraction.  

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Intégrales : changement de variable 13-07-13 à 20:23

niveau et pas nivau

Posté par
Stan88re : Intégrales : changement de variable 16-07-13 à 21:59

Bonjour
Merci J-P pour ces explications complétées

Pour l'intégral C je trouve : 1/5 en prenants comme changement de variable x²+1 =t²,   x dx = dt


Pour L'integral D je trouve :
-\frac{1}{1+\sqrt{2} } + \frac{1}{2}

Posté par
Priamre : Intégrales : changement de variable 16-07-13 à 22:31

Pour ma part, je trouve   C = 1/2  et  D = le double de ce que tu as trouvé.

Posté par
Priamre : Intégrales : changement de variable 16-07-13 à 22:43

Rectification :  D = 1 - 2/(1 + 2) .

Posté par
ThierryPomare : Intégrales : changement de variable 16-07-13 à 22:43

Bonsoir,

Je ne vois pas pourquoi avoir posé t^2=1+x^2 ! C'est étrange. Ne serait-ce pas t=1+x^2 ?

Avec tout mon respect,

Thierry

Posté par
Stan88re : Intégrales : changement de variable 16-07-13 à 23:52

J'ai refait mon intégration  pour la C  et je trouve un résultat différent voici le développement :

C = \int_0^{1/2} \frac{x}{\sqrt{1+x²} } dx

Changement de variable :
x² = t
x dx = dt

C = \int_0^{1/2} \frac{x}{\sqrt{1+x²} } dx  = \int_0^{1/2} \frac{1}{\sqrt{1+t} } dt = [2\sqrt{t}] \\ \\ 2\sqrt{\frac{1}{2}^2}  - 2\sqrt{0}^2} \\ \\ = 1

Posté par
delta-Bre : Intégrales : changement de variable 17-07-13 à 00:40

Bonsoir.

@Stan88

Deux erreurs:
1)  x^2=t  ne donne pas \red{xdx=dt}

2) Erreur de borne et d'intégration dans C = \int_0^{1/2} \frac{x}{\sqrt{1+x²} } dx  =\red{ \int_0^{1/2 ?} \frac{1}{\sqrt{1+t} } dt = \left[2\sqrt{t}\right]_?^?}

Posté par
LeDinore : Intégrales : changement de variable 17-07-13 à 02:49

\boxed {  C = \int_{x=0}^{x=\frac{1}{2}} \dfrac{x}{\sqrt{1+x²}} dx  }

x^2 = t  \implies  2x.dx = dt  \implies  x.dx = \dfrac{1}{2}dt
x=0  \implies  t=0
x=\dfrac{1}{2}  \implies  t=\dfrac{1}{4}

\boxed {  C = \int _{\textcolor {blue}{x=0}} ^{\textcolor {blue}{x=\frac{1}{2}}} \dfrac{\textcolor {blue}{x.dx}}{\sqrt{1+\textcolor {blue}{x²}} }  =  \int _{\textcolor {red}{t=0}} ^{\textcolor {red}{t=\frac{1}{4}}} \dfrac{\frac{1}{2} d\textcolor {red} {t}}{\sqrt{1+\textcolor {red}{t}} }  =  [  \sqrt{1+t}  ]_{0}^{\frac{1}{4}}  = \dfrac {\sqrt5}{2} - 1  }

Posté par
LeDinore : Intégrales : changement de variable 17-07-13 à 03:00

Autre changement de variable (suggéré par JP) :

\boxed {  C = \int_{x=0}^{x=\frac{1}{2}} \dfrac{x}{\sqrt{1+x²}} dx  }

1 + x^2 = t^2  \implies  x.dx = t.dt

x=0  \implies  t=1
x=\dfrac{1}{2}  \implies  t=\dfrac{\sqrt{5}}{2}

\boxed {  C = \int _{\textcolor {blue}{x=0}} ^{\textcolor {blue}{x=\frac{1}{2}}} \dfrac{\textcolor {blue}{x.dx}}{\sqrt{1+\textcolor {blue}{x²}} }  =  \int _{\textcolor {red}{t=1}} ^{\textcolor {red}{t=\frac{\sqrt{5}}{2}}} \dfrac{ \textcolor {red} {t.dt}}{{\textcolor {red}{t}} }  =  [  t  ]_{1}^{\frac{\sqrt{5}}{2}}  = \dfrac {\sqrt5}{2} - 1  }

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Intégrales : changement de variable 17-07-13 à 08:32

ThierryPoma,

Citation :
Je ne vois pas pourquoi avoir posé t² = 1+x² C'est étrange.


Pourquoi étrange ?
N'est ce pas limpide en regardant le message de LeDino du 17-07-13 à 03:00

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Intégrales : changement de variable 17-07-13 à 09:20

D)

Changement de variable proposé : 1+x = t²
dx = 2t dt
x = 0 --> t = 1
x = 1 --> t = V2

S 1/[V(1+x).(1+V(1+x))²] dx = S 1/[t.(1+t)²] * 2t dt = 2 S 1/(1+t)² dt = -2 * 1/(1+t)

D = -2 * [1/(1+t)](de1àV2) = -2.(1/(1+V2) - 1/2) = 1 - 2/(1+V2) = 1 - 2(1-V2)/(-1) = 3 - 2V2
-----
E)

Changement de variable proposé : x+3 = V2 * t
dx = V2 dt

S 1/(x²+6x+11) dx = S (1/[(x+3)²+2] dx = S 1/(2(t²+1)) . V2 dt = 1/V2 S dt/(t²+1) = (1/V2).arctan(t) = (1/V2).arctan((x+3)/V2)

E = (1/V2).[arctan((x+3)/V2)](de1à4) = (1/V2).(arctan(7/V2) - arctan(4/V2))
-----
Sauf distraction.  

Posté par
delta-Bre : Intégrales : changement de variable 17-07-13 à 23:40

Bonsoir.

@ThierryPoma.

En voulant trop bien faire (mon post du 06/07/13, 17h42, j'ai tout raté , trop de mots et de termes manquaient ce qui rendait mon post incompréhensible pour Stan. Heureusement J-P a rectifié le tir (Post du 13/07/13 - 20h33.


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