Bonsoir

Alors dans l'ordre :
- f dans E => f bornée est vraie (car elle est bornée sur [0,2pi] puisque continue sur un segment, et 2pi périodique => bornée sur R)
- Pour l'image, c'est R tout entier (prend la fonction x -> a, fonction constante avec a dans R, et vérifie qu'elle est dans E et que u(f) = a)
- pour le noyau, ton raisonnement est faux. Prends la fonction x -> cos(x). Elle est bien dans E, et pourtant u(cos) = 0.

le noyau est en fait l'ensemble des fonctions f telle que u(f) = 0... Si on note F une primitive de f, on a alors F qui est de classe C infini (puisque f l'est) et F(0) = F(2pi). Je te laisse vérifier que c'est équivalent à ce que F soit 2pi périodique.

sauf erreur.

je veux dire que u(f) = 0 <=> toute primitve F de f est 2pi périodique (et est donc dans E)

Bonsoir Tealc, et merci beaucoup pour ton aide!
Je ne comprends pas comment tu montres que toutes les valeurs sont atteintes pour l'image de u : il suffit de prendre une application constante ?

Pour le noyau, c'est l'ensemble des f dans E tq sa primitive vérifie F(0)=F(2pi) : c'est la meilleure expressoin du noyau que je puisse trouver ?
Et je ne vois pas comment justifier que cela équivaut à F est 2pi périodique : pourquoi si F(0)=F(2pi) on a nécessairement F(2pi)=F(4pi).. etc.. ?

Je souhaite montrer que l'image de u est R tout entier (tu sais qu'elle est inclus dans R car c'est une forme linéaire). Pour faire ça, il suffit de trouver une fonction f de E qui vérifie u(f) = a pour tout a de R. On est d'accord ?

Dans ce cas, si je prends f : x -> a, fonction constante, elle vérifie : f est dans E et u(f) = a (calcul rapide). cqdf.

Pour le noyau, c'est bien u(f) = 0 <=> F 2pi périodique.

Pour cela, je te conseille de calculer et de prouver que cela vaut zéro. De la, t'en déduis que F(x) = F(x+2pi) pour tout x ...

Je pense avoir compris pour l'image : Il est évident que Im(u) est incluse dans R, et ensuite je prends une fonction dans R(constante) et je montre qu'elle est dans Im(u) pour la deuxième inclusion ?

D'autre part, je ne vois toujours pas comment utiliser le noyau caractérisé par fdans E tq F(2pi)=F(0), car une question suivante est : montrer que Ker(u) et Ker (D^) sont supplémentaires
Or Ker(D^)= {fE, tel que D(f)=0)}
          = {f continues sur R et 2pi périodiques, tq f'=0}
          = {f constantes}

Pour montrer qu'ils sont supplémentaires, comment utiliser l'expression de Ker(u) pour trouver une décomposition de tout vecteur u de E ?
Et pourquoi l'intersection des deux ensembles est le vecteur nul ?

J'ai compris ton explication du message précédent, merci beaucoup !
En fait il était indiqué "On montre avec un changement de variable très simple que x a x+2pi f(t)dt ne dépend pas de x" mais on admettait le résultat parce qu'on n'a pas encore appris à le faire..
Donc je dois réutiliser ça, ok!

Mais peux tu m'aider pour réutiliser l'expression de Ker(u)?

Pour l'image, il faut bien faire que l'espace d'arrivé c'est R. Ce qu'il faut montrer donc c'est  :

Pour tout a de R, il existe f de E telle que u(f) = a. a est bien un réel, hein Je propose f : x -> a qui convient.

* Pour la somme directe si je prends f dans Ker(D^) inter Ker(u).

On sait donc que f est constante. On écrit f : x -> a. Or, toute primitive de f est 2pi périodique (car f est dans Ker u), et toute primitive de f s'écrit x -> ax + b, qui n'est périodique que si a = 0.

Bilan : l'intersection est réduite à o.

* Pour le coté supplémentaire.

Soit f dans E. x -> u(f) est une fonction constante, donc elle est dans Ker(D^). intéresse toi à x -> f(x) - u(f) et vérifie qu'elle est dans Ker(u); ce qui te permettra de conclure.

Hinhiin...Tout compris
Juste entre temps j'ai voulu montrer que l'intégrale de x a x+2pi était nulle, mais je fais comment sans avoir d'expression de f, et donc sans pouvoir calculer F(x+2pi)-F(x) ?
Decidemment un peu à la ramasse..

Ca c'est un petit théorème d'intégration mais si tu n'as pas encore vu le cours ...

En posant G(x) = int_x^{x+2pi} f(t)dt

alors G'(x) = f(x+2pi)-f(x) * = 0 car f est 2pi périodique.

Donc G est constante. Or, en 0, G(0) = 0 (par hypothèse, u(f) = 0), donc G(x) = 0 pour tout x.

Si tu ne comprends pas *, c'est pas grave, tu le verras bientôt

En effet, ça reste un peu mystérieux pour moi..
Mais donc sans me servir de ça, pour mon exercice il n'y a pas d'autre moyen ?
En tout cas pour les supplémentaires, ton explication me parait claire cm de l'eau de roche mais je paierais cher pour pouvoir trouver ce genre de méthodes moi même..!
Merci

Les méthodes arriveront à force d'en faire, t'inquiètes pas

Disons que sans un minimum de notion sur les intégrales (et donc sans l'indication), non tu ne peux pas conclure à ce niveau ... C'est un peu bête mais bon ...

Tu veux dire qu'avec l'indication J(f,x)=(x a x+2pi)f(t)dt ne dépend pas de x", je peux le montrer ? Que qq soit x, F(x)=F(x+2pi) ?
Parce qu'on nous aurait aussi enlevé la question de l'équivalence si c'était impossible ?

si J(f,x) ne dépend pas de x, tu sais donc que :

Pour tout x, J(f,x) = J(f, 0).

Soit donc f dans Ker(u). On a alors u(f) = 0 c'est à dire c'est  à dire justement J(f,0) = 0.

Donc pour f dans Ker(u), J(f,x) = 0 pour tout x. En prenant une primitive F de f, cela veut donc dire F(x+2pi) - F(x) = 0 pour tout x, c'est à dire F 2pi périodique.

En fait en relisant ton calcul, c'est largement faisable avec des notions de Terminale..!
Tellement fatigué que je n'ai pas compris tout de suite que int= !!
Je te remercie beaucoup de ton aide, en plus tu m'as détourné d'une mauvaise compréhension de l'image d'une application.. Merci merci !

Mais je t'en prie Grâce à toi, j'ai un exo de kholles à poser à mes sup ^^

Je demande pardon d'avance à ces sup..
Bonne soirée!

Lol mais non faut pas ^^

Bonne soirée