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Intégrales et Primitives
EXERCICE:
On pose u(indice n) = 
1,e (lnx)^n dx
c'est a dire un =l'intégrale de 1 à e de lnx puissance n. Sur 
(privée de 0)
1a) Demontrer que: Pour tout x de [1;e], (lnx)n - (lnx)n+1 >0.
b) Deduire que la suite (Un) est décroissante. ( Faut-il faire un raisonnement par récurrence ?)
2)a) Calculer u1. ( Faire avec la primitive a mon avis mais je ne sais quelle est la primitive de (lnx)^n )
b)Demontrer que : Un+1=e-(n+1)Un (Aucune idée)
c) En déduire la valeur exacte, puis la valeur approchée par défaut a 10-3 pres de u2, u3 et u4 en fonction de e. ( faire avec la formule du dessus a mon avis)
3)a) Demontrer que: Un > 0 ( Montrer que f(x)>0 ?)
b) Demontrer que: (n+1)Un < e (Avec la question 2)b) ? )
c) Demontrer que la suite est convergente et determiner sa limite.
d) Determiner la valeur de n*Un+(Un+U(n+1)) et en déduire la limite de n*Un, quand n tend vers +infini.
(* veut dire multiplier )
Bonjour.
Bienvenue sur l'île.
Il est d'usage de dire bonjour.
1°) a. Met [ln(x)]n en facteur.
1°) b. Calcule : un+1 - un et utilise 1°) a.
2°) a. Pour calculer u1, remplace n par 1 : .
Ensuite, fais une intégration par parties en dérivant ln(x).
2°) b. Prend et fais une intégration par parties en dérivant [ln(x)]n+1. Cela te donnera une intégrale dans laquelle figure [ln(x)]n, donc te permettant de retrouver un.
Oups désolé je m'excuse!
Merci pour la réponse!
Mais j'ai un petit problème c'est que je ne sais pas ce que sa veut dire "intégration par parties".
Encore désolé pour l'oubli du "Bonjour".
bonjour
L'intégration par parties permet de transformer l'intégrale d'un produit de fonctions en une différence d'autres intégrales plus simples à calculer :
Somme(u.dv) = u.v - Somme(v.du)
Plutôt que de tenter de te l'xpliquer plus ou moins bien, clique sur la maison 
c'est un lien avec des explications
Bonjour!
J'ai à peu près compris avec le site que vous m'avez donné !
Je vais essayer de faire mon exrcice ( enfin j'en est 2 qui sont dans le meme genre ).
Si j'ai un problème je reviendrai là!
Merci à tous.
Bonne journée.
Re Bonjour!
J'ai presque fini mais j'ai un problème pour la question 3-d)
" Determiner la valeur de n*Un+(Un+U(n+1)) et en déduire la limite de n*Un, quand n tend vers +infini."
J'ai réussi la 1ère partie pour la valeur de n*Un+(Un+U(n+1)) ou j'ai trouvé que c'était egal à e .
Mais je n'arrive pas à en déduire la limite de n*Un et je ne sais pas comment faire ...
Merci de m'aider (k)
Bisous
Bonjour,
J'ai le même exercice à faire, j'y arrives à peu près mais je suis bloquée à la question 1. a).
Tu dis de mettre [ln(x)]n en facteur, mais comment c'est possible sachant que l'on a aucune relation à la base ?
Merci
1°) a.
Sur [1,e], 0 
ln(x) 1, donc :
1°) b.
D'après 1°) a. :
Donc, la suite (un) est croissante.
2°) a.
On pose u(x) = ln(x), donc, u'(x) = 1/x et v'(x) = 1, donc, v(x) = x
La formule d'intégration par parties donnera :
2°) b.
Encore une intégration par parties.
u(x) = (ln(x))n+1, donc, u'(x) = (n+1)(ln(x))n
(1/x)
v'(x) = 1, donc, v(x) = x
2°) c.
Cette dernière formule : un+1 = e - (n+1)un nous permet de calculer de proche en proche les termes de la suite.
u2 = e - 2u1 = e - 2
u3 = e - 3u2 = 6 - 2e
u4 = e - 4u3 = 9e - 24
3°) a.
On sait que sur [1,e], ln(x) est positif, donc, un > 0
3°) b.
On sait que : un+1 = e - (n+1)un. Comme, pour tout n, un > 0, on a aussi un+1 > 0.
Donc, e - (n+1)un > 0, donc, (n+1)un < e
3°) c.
Ce qui précède nous donne l'encadrement :
Le théorème des gendarmes permet de conclure :
3°) d.
Toujours la même formule un+1 = e - (n+1)un.
Elle s'écrit aussi : n.un + (un+1 + un) = e
D'après ce qui précède, un tend vers 0, donc, un+1 tend vers 0.
Donc,
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