Niveau BTS

Intégrales et relations de récurrence

Posté par Seb (invité) 14-09-04 à 16:00

Bonjour,
je dois être vraiment nul, mais je bloque sur cet exo :
On pose $I_n(x)=\int (\ln x)^n dx$ pour tout $n \in N$ . Etablir une relation de récurrence entre $I_n(x)$ et $I_{n-1}(x)$ (pour tout $n \in N^*$ ). Calculer $I_3(x)$ .

Merci d'avance.

Posté par re : Intégrales et relations de récurrence 14-09-04 à 16:32

Poser (ln(x))^n = u -> [n(ln(x))^(n-1) /x] dx = du
et poser dv = dx -> x = v

(Avec S pour le signe intégral dans le début)
S (lnx)^n dx = x.(ln(x))^n - n. S [(ln(x))^(n-1)] dx

$I_n= x.(ln(x))^n - n. I_{n-1}$

$I_0= x.(ln(x))^0 - 0. I_{0-1}$
$I_0= x$

$I_1= x.(ln(x))^1 - 1. I_{0}$
$I_1= x.(ln(x)) - x = x(ln(x) - 1)$

$I_2= x.(ln(x))^2 - 2. I_{1}$
A toi, tu trouves $I_2$
et puis ensuite $I_3$
-----
Sauf distraction.

Posté par Seb (invité)re : Intégrales et relations de récurrence 14-09-04 à 16:45

Merci JP.
T'es le meilleur !

Posté par re : Intégrales et relations de récurrence 14-09-04 à 16:57

Attention que l'énoncé demandait de rester dans N*.

Dans ce cas on ne part pas de I0 mais bien de I1

I1 = S ln(x) dx

Poser ln(x) = u -> dx/x = du
et poser dx = dv -> v = x

I1 = x.ln(x) - S dx
I1 = x.ln(x) - x = x(ln(x) - 1)

On trouve évidemment la même chose.

La suite comme avant.
----

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