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intégrales et suites
Bonjour,
Voilà, j'ai un dm à rendre la semaine prochaine et je bloque sur l'exercice dans son ensemble
Voici l'énoncé:
On considère les suites (Xn) et (Yn) définies pour tout entier naturel n non nul par:
(Xn)= intégrale de 0 à 1 t^n*cos(t) dt et (Yn)=intégrale de 0 à 1 t^n*sin(t) dt
Q1)a)montrer que la suite (Xn) est à termes positifs
b) Etudier les variations de la suite (Xn)
c) Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite (Xn)?
d) Démontrer que pour tout entier naturel n non nul: Xn <= 1/(n+1)
e) en déduire la limite de (Xn)
Q2) a) déterminer la dérivée de f(t)=t^n+1 sin(t)
b) Sans factoriser la dérivée obtenue, intégrer l'égalité précédente entre 0 et 1. En déduire que: (n+1) Yn+X n+1 = sin(1)
c) en déduire la limite de (Yn)
d) Pouvait on déterminer la limite de (Yn) avec la même méthode que la question1?
Bonjour,
Pour a), comment démontrer qu'une intégrale est positive ?
Pour b), as-tu essayé d'étudier le signe de Xn+1-Xn ?
a) On sait que la fonction cosinus est toujours positive sur 0 et 1 donc on pourrait en déduire que Xn est postive.
b) je n'arrive pas à trouver Xn+1 c'est pour cela que je bloque
D'accord carpediem,
Pour f 
g , on peut chercher le signe de g-f en factorisant :
tn+1cos(t) - tncos(t) = ...
On est au tout début du chapitre c'est pour cela que j'ai peu de connaissances
tu as le droit de penser : ce n'est que de l'application directe de résultats sur les suites ou sur les intégrales !!!
Tu en es au a) ou au b) ?
j'en suis au b) je suis perdue
j'ai essayée avec f(x) < g(x) mais je n'arrive pas à trouver les variations
salut,
pour tout t de [0;1], t^(n+1)<=t^n donc t^(n+1)*cos(t)<=t^n*cos(t) car cos(t)>0 donc
donc ...
pour la d)
Nous avons :
cos(t)< 1
t^n cos(t)< t^n
Donc :
en intégrant t^n on obtient de 0 à 1
et en calculant on obtient l'inéquation attendu.
Cependant, je ne sais pas comment utiliser cette question pur répondre à la e)
merci, mais comment prouver que t^n cos(t) est positive? par récurrence? je ne sais si c'est pertinent
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