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Integrales generalisées

Posté par (invité) 28-08-04 à 16:11

salut salut,

J'ai la 2 integrales apetissante, j'ai bo les retourner dans tous les sens, je tombe tjrs sur une forme indeterminé !!

enoncé :

Etudier la nature des integrales puis les calculer par changement de variable en cas de convergence

      +
I = x / ((x2-1)(x2+1)) dx
     2

       +
J = ln(x) / x   dx
      1

alors si vous snetez inspirer
merci d'avance !

Posté par carrocel (invité)Re : integrales generalisees 28-08-04 à 16:52

Salut !

Pour l'instant, j'ai une idee que sur la premiere integrale...Pas avec changement de variable certes mais plus simple !

Il faut commencer par dire que x-> x/((x²-1)(x²+1)) est definie et continue sur [2;+[
(et oui ce n'est pas necessaire de regarder ailleurs car on demande l'integrale entre 2 et +)
Donc l'intégrale est bien definie. a etudier sa convergence en +:
en +, on a x->x/((x²-1)(x²+1)) qui equivaut a x->1/x^3
Donc I et de 2 a + &/x^3 dx st de meme nature
On reconnait une integrale de Riemann cad de 2 à + 1/x^3 dx converge dc I est convergente.

Pour J, il faudrait peut etre essayer une integration par parties entre 1 et X puis on fait tendre X vers +. Je ne l'ai pas fait mais c'est peut etre une piste...(je ne suis absolument pas sure de sa fiabilite !)

A +

Posté par
Nightmarere : Integrales generalisées 28-08-04 à 16:57

Bonjour

Calculer

3$I=\int_2^{+\infty} \frac{xdx}{(x^2-1)(x^2+1)}

Revient à calculer :

3$\lim_{u\to +\infty}\int_2^{u}\frac{xdx}{(x^2-1)(x^2+1)}

On sait que 3$(x^2-1)(x^2+1)=x^4-1

Donc on à :
3$\int_2^{u}\frac{xdx}{x^4-1}=\int_2^{u}\frac{xdx}{x^4-1}
En posant:
3$t=x^2 \Longrightarrow dt=2xdx

l'intégrale devient :
3$\int_4^{u^2}\frac{1dt}{2(t^2-1)}=[\frac{1}{2}arctan(t)]_4^{u^2}

Il ne te reste plus qu'a calculer avec les bornes et en conclure la limite .

Pour J . On pose 3$u=ln(x) \Longrightarrow du=\frac{dx}{x}

Et l'intégrale devient alors :
3$\int udu=\frac{u^2}{2}=\frac{ln^2(x)}{2}

Et aprés tu termine avec le calcul de limite avec les bornes .

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Integrales generalisées 28-08-04 à 17:11

Je te souffle la marche à suivre pour le calcul des intégrales.

1)
Poser x² = t
x dx = (1/2).dt

\bigint \frac{x}{(x^2-1)(x^2+1)} dx = \frac{1}{2}\bigint \frac{1}{(t-1)(t+1)} = \frac{1}{4}.\bigint \frac{dt}{t-1} - \frac{1}{4}.\bigint \frac{dt}{t+1} = \frac{1}{4}.ln|\frac{x^2-1}{x^2+1}|

I = \frac{1}{4}.[ln|\frac{x^2-1}{x^2+1}|]_2^{\infty} = -\frac{1}{4} ln(\frac{3}{5})
-----
Pour la seconde.
Poser ln(x) = t
-> dx/x = dt
\bigint \frac{ln(x)}{x}\ dx = \bigint t\ dt = \frac{t^2}{2} = \frac{ln^2(x)}{2}

\bigint_1^{\infty} \frac{ln(x)}{x}\ dx = \infty

Et donc, fallait-il la calculer ?
-----
Sauf distraction.  

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Integrales generalisées 28-08-04 à 17:15

Salut Nightmare,

Je pense que tu t'es planté dans la première.
On trouve arctg ... si on a 1/(t²+1), mais ici c'est 1/(t²-1).


Posté par
Nightmarere : Integrales generalisées 28-08-04 à 17:16

Oups , effectivement , ce n'est pas \frac{x}{x^4+1} mais \frac{x}{x^4-1}

Ce qui fait un peu tomber mon raisonnement . Enfin , J-P l'a réctifié . Merci

Posté par
dad97 Correcteurre : Integrales generalisées 28-08-04 à 17:27

bonjour,

le problème d'intégration pour la première inbtégrale ne se situe qu'en +oo donc on va essayer de "la calculer" entre 2 et t (t>2)

\frac{x}{(x^2+1)(x^2-1)= \frac{1}{4}][\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}-\frac{2x}{x^2+1}]

d'où \int_2^{t} f(x) dx=\frac{1}{4}[ln(x+1)+ln(x-1)-ln(x2+1)]2
t

= \frac{1}{4}ln \frac{t^2-1}{t^2+1}

or \lim_{t\to +\infty} \frac{t^2-1}{t^2+1} =0

donc \int_2^{+\infty} \frac{xdx}{(x^2-1)(x^2+1)} existe et vaut 0.

Pour la deuxième le problème se situe en +oo

on remarque que [ln2]'(x)=2\frac{ln(x)}{x}

et donc priori J n'existe pas

Salut

Posté par
dad97 Correcteurre : Integrales generalisées 28-08-04 à 17:28

euh il faut insérer ln dans la limite

Posté par
dad97 Correcteurre : Integrales generalisées 28-08-04 à 17:34

je viens de lire le post de J-P je me suis planter dans le calcul de F(2) donc la limite n'est pas 0 mais bien ce qu'annonce J-P encore une fois.

Salut

Posté par (invité)re : Integrales generalisées 28-08-04 à 17:43

bien soufler !

en fait sa commence a me revenir ces histoires de changement de variable, mais la c sportif kan mm...

eu et sinon pour la convergence g la methode de carrocel(en haut de la page) mais je voudrai savoir d'ou on sait que :
"en +oo, on a f(x)= x/((x²-1)(x²+1)) qui equivaut a f(x)= 1/x^3"

il doit yavoir un formulaire ou des theoremes ?!

pasque je croi que c ce qu'il me manque pour des exos sur les series

en totu cas merci c cool!


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