Je reprends les notations de Romain :
Tout d'abord, on utilise le développement en série entière de la fonction arctangente.
Pour tout t dans [0,1], on a :
Ainsi, on a :
et
Ensuite, grâce au théorème des séries alternées, on montre qu'il y a convergence uniforme de ces deux séries sur ]0,1[ et donc on peut intervertir l'intégrale et la somme (si besoin est, je pourrais éventuellement détailler ce passage). On a donc :
et
On est donc amené à calculer une intégrale du type
où b est un réel > -1. Grâce à une IPP faisant disparaître le log, on trouve que cette intégrale vaut
(on peut aussi reprendre le résultat donné par Romain dans son message précédent par l'intégrale
, et non
, je suppose ?
)
Du coup, on obtient :
et
A présent, passons aux décompositions en éléments simples.
Je considère la fraction rationnelle
(avec b un réel distinct de 1)
On sait que l'on peut écrire F sous la forme suivante (
Pour trouver
, on multiplie par (X-b)² et on évalue en b.
Pour trouver
, on multiplie par (X-1) et on évalue en 1.
Pour trouver
, on multiplie F par X, on remplace X par une variable réelle x que l'on fait tendre vers l'infini : on obtient alors que
Ainsi,
Par suite, en remplaçant X par 2n+2 :
1) avec b=a, on a
et
2) de la même manière, mais avec b=2-a, on obtient :
d'où
C'est là où doit faire intervenir le développement en série de Fourier.
On considère donc la fonction f
-périodique définie par :
(où b est un réel non entier)
Pour tout entier n, on a :
f est clairement de classe C1 par morceaux et régulière donc d'après le théorème de Dirichlet, la série de Fourier de f converge simplement vers f. En particulier, en x=0, ça converge vers f(0)=1.
Ainsi,
cette série peut être considérée comme une série de fonctions de la variable b appartenant à
.
l'idée est de la dérivée en prouvant qu'on peut : la série converge en tout point et la série des dérivées est clairement normalement convergente (donc uniformément) sur tout compact inclus dans
donc on peut dériver terme à terme.
En dérivant, il vient l'égalité :
par suite, en prenant b=a/2, on obtient l'égalité :
d'où le résultat !!(enfin !!
)