Bonjour;

Etude de la convergence d'une intégrale généralisée en utilisant un équivalent :
1. Etude de la continuité de la fonction f à intégrer → On identifie le problème.
2. On montre que f est positive
3. Recherche d'un équivalentde f au voisinage du « point problème »
4. On utilise la règle des équivalents :
Soit on utilise des intégrales de référence
Soit on calcul l'intégrale de l'équivalent

Bonjour déjà un grand merci pour votre réponse.

Je sais premièrement que les quatre premières fonctions sont positives sur [0,+oo[, et que les poins problématiques sont à chaque fois en l'infini et en zéro. Pour la première et la cinquième, on peut remarquer qu'elles sont, respectivement, inférieures à 1/x, et 1/sqrt(x), or j'ai l'impression qu'on ne peut justement rien en déduire puisque 1/x diverge en 0 et en l'infini, et que bien que 1/sqrt(x) converge en zéro, je ne parviens pas à déterminer si la comparaison sur la borne inférieure de l'intégrale me permet de conclure. Je peux juste faire l'équivalence de 1-exp(-x)~1 à l'infini, faisant qu'étant alors équivalente à 1/x qui diverge à l'infini. De même, pour la deuxième et sixième, on peut remarquer que x/(exp(x)-1) < x, et sqrt(x)/(exp(x)-1)< sqrt(x), mais qui divergent toutes deux à l'infini, nous empêchant de conclure,  et là revient la question de la comparaison en zéro.
À vrai dire, je reste très vite bloquée, et ne parviens pas à conclure sur leur nature.

Sinon, pour x/(exp(x)-1), on sait qu'à l'infini, exp(x)-1~exp(x), donc la fonction est équivalente à x.exp(-x) qui est de l'ordre o(1/(x^2)) qui converge à l'infini, donc x/(exp(x)-1) converge à l'infini, et de même pour sqrt(x)/(exp(x)-1) ? Mais, je bloque encore en zéro. Peut-on faire justement la même chose, avec la convergence absolue des fonctions trois et sept ? Faisant qu'elles sont absolument inférieurs à xexp(-x) qui converge à l'infini. Enfin, si je fais un changement de variable pour les deux dernières, je peux conclure pour 1/sqrt(x), mais reste bloquée par la divergence de 1/x

Bonjour,
@SuzanneDgt,
Tu n'es plus en terminale ; merci de mettre à jour ton profil.

Oui, merci @Sylvieg ! Je n'avais pas fais attention, mais maintenant c'est fait.

salut

pour tous les cas reconnaitre dans l'intégrande des taux de variation en 0 (ou leur inverse)

ce qui permet de résoudre le pb en 0 ...

Oui, vous voulez dire que pour la première par exemple nous avons (f(0)-f(-x))/(0-(-x)), avec f(x)=exp(x) ?

tout simplement :   avec  

Et comme exp(-x) décroit plus vite que toutes autres fonctions polynomiales, nous aurions donc divergence ? Je vous remercie vraiment pour votre aide, j'ai juste un peu peur de ne pas comprendre entièrement l'implication concernant l'intégrale du taux de variation (désolée)