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Intégrales interminables

Posté par
Slpok
23-06-17 à 01:59

Bonjour,

Une petite énigme algébrique assez complexe aujourd'hui.

Evaluer l'intégrale suivant : \lim_{n\rightarrow \infty}\int_{0}^{1}{\int_{0}^{1}{...\int_{0}^{1}{\frac{n}{x_1+x_2+...+x_n}}}dx_1dx_2...dx_n}

Utilisez le blank, et si possible montrez vos démonstrations, la réponse attendue doit être arrondie au millième près.

Posté par
Slpok
re : Intégrales interminables 23-06-17 à 02:07

L'énoncé qui permet d'arriver a cette intégrale est :

Vous avez récemment acheté the "Random Number Generator 4000" chez votre marchand local. Cette machine remarquable donne des nombres aléatoirement dans l'intervalle [0;1]. On décide de créer une liste des nombres et trouver la somme totale.

Quel est le nombre de répétition que la machine doit opérer pour générer un nombre avant que la somme total soit au moins de 1 ?

Posté par
Alexique
re : Intégrales interminables 23-06-17 à 15:11

Bonjour,

pourquoi cette intégrale existe ? Je n'ai pas l'impression que l'intégrande soit intégrable sur [0,1]^n. Ce topic n'est pas très éloigné de ton problème sinon :

Posté par
Slpok
re : Intégrales interminables 23-06-17 à 23:09

Si je propose l'énigme, c'est forcément parce que j'ai la réponse...

Posté par
Alexique
re : Intégrales interminables 24-06-17 à 22:18

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Posté par
verdurin
re : Intégrales interminables 24-06-17 à 22:42

Bonsoir,
en prenant n=1 on demande de calculer \int_0^1\frac1{x}$d$x.
Et je n'ai pas vraiment l'impression que ça s'arrange en augmentant le nombre de variables.
Mais je me trompe assez facilement.

Posté par
jandri Correcteur
re : Intégrales interminables 24-06-17 à 22:48

Bonjour,

L'intégrale I_n existe bien pour n\geq 2.
Par un calcul numérique je conjecture que sa limite en +\infty est égale à:

 Cliquez pour afficher


Cependant je ne vois pas le rapport avec le "Random Number Generator 4000".
La variable aléatoire égale au nombre de répétitions que la machine doit opérer pour que la somme totale soit au moins égale à 1 a pour espérance
 Cliquez pour afficher
.

Posté par
jandri Correcteur
re : Intégrales interminables 27-06-17 à 16:51

Bonjour,

J'ai réussi à démontrer ma conjecture par l'analyse (sans utiliser les probabilités) mais c'est assez astucieux. Voici les étapes de ma démonstration.

Je commence par calculer I_n en introduisant la suite J_0(a)=\dfrac1a et J_{n+1}(a)=\int_0^1J_n(a+x)dx pour a>0.
On en déduit l'existence de I_n pour n\geq2, I_n=n\lim_{a\to 0}J_n(a) qui vaut:

 Cliquez pour afficher


Ensuite on se débarrasse des \ln(k) en utilisant \ln(k)=\int_0^{+\infty}\dfrac{e^{-x}-e^{-kx}}x dx. Cela conduit après regroupement à:
 Cliquez pour afficher


Enfin on applique le théorème de convergence dominée après avoir fait le changement de variable t=nx (mais la condition de domination n'est pas immédiate à justifier).

On peut même calculer un développement asymptotique de I_n:
 Cliquez pour afficher

Posté par
Slpok
re : Intégrales interminables 27-06-17 à 16:58

En faite, j'ai essayer de donner un cadre à la résolution de l'intégrale  \lim_{n\rightarrow \infty}\int_{0}^{1}{\int_{0}^{1}{...\int_{0}^{1}{\frac{n}{x_1+x_2+...+x_n}}}dx_1dx_2...dx_n} .

Après coup, je me suis rendu compte que le cadre que j'avais essayé de donner est faux, et donc que le problème n'est pas résoluble car faux.

Maintenant, je peux quand même proposé la solution pour calculer l'intégrale suivant : \lim_{n\rightarrow \infty}\int_{0}^{1}{\int_{0}^{1}{...\int_{0}^{1}{\frac{n}{x_1+x_2+...+x_n}}}dx_1dx_2...dx_n}

Mais je ne sais pas bien si c'est utile, c'était la première fois que j'osais publier une énigme, on peut considérer ça comme une erreur de première fois, j'en suis désolé..

Posté par
jandri Correcteur
re : Intégrales interminables 27-06-17 à 17:16

Même si l'intégrale I_n=\int_{0}^{1}{\int_{0}^{1}{...\int_{0}^{1}{\frac{n}{x_1+x_2+...+x_n}}}dx_1dx_2...dx_n} n'a pas de rapport avec le problème du "Random Number Generator 4000" je la trouve très intéressante à calculer ainsi que sa limite.

Posté par
Slpok
re : Intégrales interminables 27-06-17 à 17:38

Je suis assez d'accord, je vais te soumettre mes calculs, tu pourras alors comparer avec ta méthode

Personellement, je trouve que cette intégrale est égale à 2.

Voici ma démarche :

On note l'intégrale suivant :

\int_{0}^{+inf}{e^{-ax}dx=\frac{1}{a}

On utilise cette intégrale en transformant l'intégrande en cette intégrale :

\frac{n}{x_1+x_2+x_3+....+x_n}=\int_{0}^{+inf}{e^{-\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}t}}dt

Ce qui dans notre équation donne :

\int_{0}^{1}....\int_{0}^{1}{dx_1dx_2dx_3...dx_2}\int_{0}^{+inf}{e^{-\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}t}}dt

Et ensuite :

\lim_{n->+inf}\int_{0}^{+inf}{(\int_{0}^{1}{e^{-\frac{x}{n}t}}dx)^n dt}
 \\ \lim_{n->+inf}\int_{0}^{+inf}{(\frac{1-e^{-t/n}}{t/n})^n dt}
 \\ \int_{0}^{+inf}\lim_{n->+inf}{(\frac{1-e^{-t/n}}{t/n})^n dt}
 \\
J'ai plus le temps d'écrire en latex, je te laisse continuer !

Posté par
jandri Correcteur
re : Intégrales interminables 27-06-17 à 18:09

C'est très bien: ta démonstration utilise le théorème de Fubini pour les intégrales multiples mais elle est beaucoup plus rapide que la mienne.

Tu arrives à la même expression que moi pour l'intégrale I_n.
Mais le passage à la limite dans I_n demande une justification.

Posté par
dpi
re : Intégrales interminables 27-06-17 à 18:22

Bonsoir,
Il aurait été bien  dommage de blanker

Posté par
Slpok
re : Intégrales interminables 27-06-17 à 18:28

Desolé Dpi, j'ai considéré que ce sujet n'en valait plus la peine...

Sinon effectivement pour la justification

Posté par
Slpok
re : Intégrales interminables 28-06-17 à 11:50

Je vais ici rédiger la démonstration en entier

Premièrement, on note l'intégrale :

\int_{0}^{+\infty}{e^{-ax}dx=\frac{1}{a}

On utilise cette intégrale en transformant l'intégrande en cette intégrale :

\frac{n}{x_1+x_2+x_3+....+x_n}=\int_{0}^{+\infty}{e^{-\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}t}}dt

Ce qui dans notre équation donne :

\int_{0}^{1}....\int_{0}^{1}{dx_1dx_2dx_3...dx_n}\int_{0}^{+\infty}{e^{-\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}t}}dt

Et ensuite :

\lim_{n->+\infty}\int_{0}^{+inf}{(\int_{0}^{1}{e^{-\frac{x}{n}t}}dx)^n dt}
 \\  \\ \lim_{n->+\infty}\int_{0}^{+inf}{(\frac{1-e^{-t/n}}{t/n})^n dt}
 \\  \\ \int_{0}^{+\infty}\lim_{n->+\infty}{(\frac{1-e^{-t/n}}{t/n})^n dt}
 \\  \\  \int_{0}^{+\infty}{e^{-t/2}}\lim_{n->+\infty}(\frac{e^{t/2n}+e^{-t/2n}}{t/n})^n dt
 \\ \\ \int_{0}^{+\infty}{e^{-t/2}}\lim_{n->+\infty}(\frac{2sinh(t/2n)}{t/n})^n dt
 \\ \\ \int_{0}^{+\infty}{e^{-t/2}}\lim_{n->+\infty}(\frac{sinh(t/2n)}{t/2n})^n dt
 \\

La limite \lim_{k->0}{\frac{sinh kx}{kx}}=1

Ce qui simplifie notre intégrale en :

\int_{0}^{+\infty}{e^{-t/2}}dt =2

Et pour justifier le passage à la limite :

On note u=\frac{t}{2}.

On a : A=\lim_{n->+\infty}[\frac{sinh(u/n)}{u/n}]^n

On a donc A qui de la forme indéterminée 1^{\infty}, donc on le transforme :

ln A = \lim_{n->+\infty}n ln[\frac{sinh(u/n)}{u/n}]
 \\ \\ ln A = \lim_{n->+\infty}\frac{ln\frac{sinh(u/n)}{u/n}}{1/n}
 \\

Avec L'Hopital

ln A = \lim_{n->+\infty}\frac{n^3[u^2csch^2(u/n)-2uncoth(u/n)+n^2]}{n^4}

Cette expression s'évalue bien 0.

On peut donc dire que A=e^0=1

Posté par
jandri Correcteur
re : Intégrales interminables 28-06-17 à 17:48

Les calculs sont exacts (il y a simplement une coquille dans la ligne qui précède l'apparition du sinh où il faut un signe moins).
Il est un peu plus rapide de ne pas introduire sinh et d'utiliser le développement limité à l'ordre 2 e^u=1+u+\frac{u^2}2+o(u^2) pour obtenir la limite de n\ln\dfrac{1-e^{-t/n}}{t/n} quand n tend vers l'infini.

Cependant il manque une justification, celle de la permutation de \int_0^{+\infty} et de \lim_{n\to\infty}.

En effet ce n'est pas toujours valide comme dans l'exemple suivant:

\int_0^{+\infty}\lim_{n\to\infty}(n^2te^{-nt})dt=\int_0^{+\infty}0\,dt=0 alors que \lim_{n\to\infty}\int_0^{+\infty}n^2te^{-nt}dt=\lim_{n\to\infty}1=1.

Posté par
Alexique
re : Intégrales interminables 30-06-17 à 22:04

\ln\left(\dfrac{1-e^{-x}}{x}\right) \leq \dfrac{1-e^{-x}}{x}-1 \leq \dfrac{1-x-e^{-x}}{x}\leq -\dfrac{x}{2} via \ln(u) \leq u-1 et e^u \geq 1+u+\frac{u^2}{2}. Pour x=\frac{t}{n}, on obtient 0 \leq f_n(t) \leq e^{-\frac{nx}{2}}= e^{-\frac{t}{2}} intégrable.

Posté par
jandri Correcteur
re : Intégrales interminables 30-06-17 à 22:30

Bonjour Alexique,

malheureusement l'inégalité e^u\geq1+u+\dfrac{u^2}2 est fausse pour u=-x<0.

Posté par
Alexique
re : Intégrales interminables 01-07-17 à 22:09

en effet... Du coup, il faut pousser un cran plus loin l'approximation de Taylor ; e^u \geq 1+u+\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{6} ce qui fournit \dfrac{1-x-e^{-x}}{x} \leq -\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6} d'où une majoration par e^{-\frac{t}{2}+\frac{t^2}{24n}}\textbf{1}_{[0,\sqrt{n}]}(t) \leq e^{-\frac{t}{2}+\frac{1}{24}} intégrable. Et f_n(t)\textbf{1}_{[0,\sqrt{n}]}(t) converge simplement vers e^{-\frac{t}{2}}. C'est mieux ?

Posté par
jandri Correcteur
re : Intégrales interminables 01-07-17 à 23:04

Les calculs sont justes mais je ne comprends pas pourquoi une majoration sur [0,\sqrt n] par une fonction intégrable sur \R_+ suffit pour passer à la limite.

J'utilise le théorème ce convergence dominée et pour cela j'ai besoin de majorer f_n(t)=\left(\dfrac{1-e^{-t/n}}{t/n}\right)^n sur \R_+ par une fonction \varphi(t) intégrable sur \R_+.

Posté par
Alexique
re : Intégrales interminables 02-07-17 à 10:51

La majoration que j'obtiens de f_n est e^{-\frac{t}{2}+\frac{t^2}{6n} (et non pas 24 comme je l'ai mis, bref) mais le n m'embête et si je minore par 1, plus d'intégrabilité d'où l'indicatrice. Maintenant, il n'y a pas de raison apparente pour que \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\infty}f_n(t)\mathrm{d}t=\lim_{n \to \infty}\int_0^{\sqrt{n}}f_n(t) \mathrm{d}t. Du coup, je n'ai plus trop d'idées, peut-être un théorème de convergence monotone si l'on arrive à montrer que la suite (f_n)_n est croissante...

Posté par
jandri Correcteur
re : Intégrales interminables 02-07-17 à 16:27

La suite (f_n) n'est pas croissante, sinon on pourrait dominer par sa limite f(t)=e^{-t/2} qui est intégrable sur \R_+.

Mais heureusement elle est décroissante et on peut donc dominer par f_2 qui est aussi intégrable sur \R_+.

Posté par
Alexique
re : Intégrales interminables 02-07-17 à 17:03

Citation :
La suite (f_n) n'est pas croissante, sinon on pourrait dominer par sa limite f(t)=e^{-t/2} qui est intégrable sur \R_+.

Pas de contradiction qui prouve que la suite n'est pas croissante...

Il resterait à montrer proprement qu'elle est décroissante ce qui m'avait un peu rebuté (étudier les variations de x \mapsto x \ln\left(\dfrac{1-e^{-\frac{t}{x}}}{\frac{t}{x}}\right). L'argument du ln est croissant par convexité de u \mapsto e^{-u}, mais on ne peut rien dire de plus sans dériver...

Posté par
jandri Correcteur
re : Intégrales interminables 02-07-17 à 19:30

En effet ce n'est pas une contradiction mais comme on montre que la suite est décroissante elle ne peut pas être majorée par sa limite.

Pour le démontrer j'ai montré que h_1: x \mapsto \dfrac1x \ln\left(\dfrac{1-e^{-x}}x}\right) est croissante en écrivant h_1'(x)=\dfrac1{x^2}h_2(x) et en montrant que h_2'(x)>0. J'ai donc du dériver deux fois.

Posté par
Alexique
re : Intégrales interminables 03-07-17 à 20:49

Entendu, .. Oui, il manquait quelques justifications non superflues.



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