Bonjour,
Une petite énigme algébrique assez complexe aujourd'hui.
Evaluer l'intégrale suivant :
Utilisez le blank, et si possible montrez vos démonstrations, la réponse attendue doit être arrondie au millième près.
L'énoncé qui permet d'arriver a cette intégrale est :
Vous avez récemment acheté the "Random Number Generator 4000" chez votre marchand local. Cette machine remarquable donne des nombres aléatoirement dans l'intervalle [0;1]. On décide de créer une liste des nombres et trouver la somme totale.
Quel est le nombre de répétition que la machine doit opérer pour générer un nombre avant que la somme total soit au moins de 1 ?
Bonsoir,
en prenant n=1 on demande de calculer .
Et je n'ai pas vraiment l'impression que ça s'arrange en augmentant le nombre de variables.
Mais je me trompe assez facilement.
Bonjour,
L'intégrale existe bien pour .
Par un calcul numérique je conjecture que sa limite en est égale à:
Bonjour,
J'ai réussi à démontrer ma conjecture par l'analyse (sans utiliser les probabilités) mais c'est assez astucieux. Voici les étapes de ma démonstration.
Je commence par calculer en introduisant la suite et pour .
On en déduit l'existence de pour , qui vaut:
En faite, j'ai essayer de donner un cadre à la résolution de l'intégrale .
Après coup, je me suis rendu compte que le cadre que j'avais essayé de donner est faux, et donc que le problème n'est pas résoluble car faux.
Maintenant, je peux quand même proposé la solution pour calculer l'intégrale suivant :
Mais je ne sais pas bien si c'est utile, c'était la première fois que j'osais publier une énigme, on peut considérer ça comme une erreur de première fois, j'en suis désolé..
Même si l'intégrale n'a pas de rapport avec le problème du "Random Number Generator 4000" je la trouve très intéressante à calculer ainsi que sa limite.
Je suis assez d'accord, je vais te soumettre mes calculs, tu pourras alors comparer avec ta méthode
Personellement, je trouve que cette intégrale est égale à 2.
Voici ma démarche :
On note l'intégrale suivant :
On utilise cette intégrale en transformant l'intégrande en cette intégrale :
Ce qui dans notre équation donne :
Et ensuite :
J'ai plus le temps d'écrire en latex, je te laisse continuer !
C'est très bien: ta démonstration utilise le théorème de Fubini pour les intégrales multiples mais elle est beaucoup plus rapide que la mienne.
Tu arrives à la même expression que moi pour l'intégrale .
Mais le passage à la limite dans demande une justification.
Desolé Dpi, j'ai considéré que ce sujet n'en valait plus la peine...
Sinon effectivement pour la justification
Je vais ici rédiger la démonstration en entier
Premièrement, on note l'intégrale :
On utilise cette intégrale en transformant l'intégrande en cette intégrale :
Ce qui dans notre équation donne :
Et ensuite :
La limite
Ce qui simplifie notre intégrale en :
Et pour justifier le passage à la limite :
On note .
On a :
On a donc A qui de la forme indéterminée , donc on le transforme :
Avec L'Hopital
Cette expression s'évalue bien 0.
On peut donc dire que
Les calculs sont exacts (il y a simplement une coquille dans la ligne qui précède l'apparition du sinh où il faut un signe moins).
Il est un peu plus rapide de ne pas introduire sinh et d'utiliser le développement limité à l'ordre 2 pour obtenir la limite de quand tend vers l'infini.
Cependant il manque une justification, celle de la permutation de et de .
En effet ce n'est pas toujours valide comme dans l'exemple suivant:
alors que .
en effet... Du coup, il faut pousser un cran plus loin l'approximation de Taylor ; ce qui fournit d'où une majoration par intégrable. Et converge simplement vers . C'est mieux ?
Les calculs sont justes mais je ne comprends pas pourquoi une majoration sur par une fonction intégrable sur suffit pour passer à la limite.
J'utilise le théorème ce convergence dominée et pour cela j'ai besoin de majorer sur par une fonction intégrable sur .
La majoration que j'obtiens de est (et non pas 24 comme je l'ai mis, bref) mais le n m'embête et si je minore par 1, plus d'intégrabilité d'où l'indicatrice. Maintenant, il n'y a pas de raison apparente pour que . Du coup, je n'ai plus trop d'idées, peut-être un théorème de convergence monotone si l'on arrive à montrer que la suite est croissante...
La suite n'est pas croissante, sinon on pourrait dominer par sa limite qui est intégrable sur .
Mais heureusement elle est décroissante et on peut donc dominer par qui est aussi intégrable sur .
En effet ce n'est pas une contradiction mais comme on montre que la suite est décroissante elle ne peut pas être majorée par sa limite.
Pour le démontrer j'ai montré que est croissante en écrivant et en montrant que . J'ai donc du dériver deux fois.
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