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Intégration

Posté par
Krayz
19-04-18 à 18:52

Bonsoir,

Si vous le voulez bien, résolvons ensemble un exercice portant sur l'intégration

Citation :
On pose pour tout entier naturel n \ge 1, u_n = \int_1^{e} (ln x)^n dx.

1) On a tracé sur [1;e] les courbes C_n d'équations y=(ln x)^n pour n = 1, 3, 5  et  7.

Quelles conjectures peut-on faire sur la suite (u_n) ?


Puisque chaque fonction est continue et positive sur [1, e], In est l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine du plan compris entre l'axe des abscisses, la courbe C_n et les droites d'équations respectives x = 1 et x = e. D'après le graphique, il semblerait que la suite (In) soit positive et décroissante.

Intégration

Posté par
Glapion Moderateur
re : Intégration 19-04-18 à 19:15

Bonsoir, oui bien vu.

Posté par
carpediem
re : Intégration 19-04-18 à 19:23

salut

et cela se démontre de façon très élémentaire ...

Posté par
Krayz
re : Intégration 19-04-18 à 19:36

Citation :
Montrer que toutes les courbes C_n ont deux points communs pour n entier naturel non nul.


Si un point M(x;y) appartient à toutes les courbes C_n, alors M appartient aux courbes C_1 et C_2 et donc son abscisse x est solution de l'équation f_1(x) = f_2(x).

f_1(x) = f_2(x) \Longleftrightarrow (ln x) = (ln x)^2
\Longleftrightarrow (ln x) - (ln x)^2= 0
\Longleftrightarrow (ln x)(1-lnx)=0
\Longleftrightarrow x = 1  ou  x = e

f_1(1) = 0.
f_1(e) = 1.

Les courbes C_1 et C_2 ont exactement deux points communs, les points de coordonnées respectives (1, 0) et (e, 1).

Les courbes C_n ont donc au plus deux points en commun.

Posté par
Krayz
re : Intégration 19-04-18 à 19:57

Citation :
Etudier pour n \ge 1, le signe de u_{n+1} - u_n.
Qu'en déduit-on ?


\forall n \in \mathbb{N}^*, u_{n+1} - u_n = \int_1^{e} (lnx)^{n+1} dx - \int_1^{e} (lnx)^n dx = \int_1^{e} ((lnx)^{n+1} -  (lnx)^n) dx.

\forall n \in \mathbb{N}^*, u_{n+1} - u_n = \int_1^{e} (lnx)^n(lnx-1)

Pour tout réel x de [1, e], on a (lnx)^n \ge 0, ln(x)-1 \le 0.

Donc pour tout réel x de [1, e], on a (lnx)^n(lnx-1) \le 0.

Par croissance de l'intégrale, on en déduit que \int_1^{e} (lnx)^n(lnx-1)  \le 0.

On a montré que pour tout entier naturel non nul n, u_{n+1} \le u_n et donc que la suite (u_n) est décroissante.

Posté par
carpediem
re : Intégration 19-04-18 à 20:11

que c'est compliqué ... et révélateur d'un travail mécanique ...

quand on a un graphique ben on s'en sert inintelligemment !!!

et on écrit directement :

f_n(1) = (\ln 1)^n = {\blue 0^n =  } 0
 \\ 
 \\ f_n(e) = (\ln e)^n = {\blue 1^n =  } 1

peut être omis en term ...

PS : puisqu'on nous demande deux points et que j'en donne deux ... ben j'ai raison !!

la fonction ln est croissante et la connaissance des valeurs particulières (voir ci-dessus) permet d'écrire : directement :

1 \le x \le e => 0 \le \ln x \le 1 => 0 \le (\ln x)^{n + 1} \le (\ln x)^n \le 1 => 0 \le u_{n + 1} \le u_n \le e - 1

car :

0 \le x \le 1 => 0 \le x^{n + 1} \le x^n \le 1    se démontre par récurrence par exemple (en term)ou avec les opérations sur les inéquations apprises au collège

f \le g => \int_a^b f(x)dx \le \int_a^b g(x)dx   croissance de l'intégrale

Posté par
Krayz
re : Intégration 19-04-18 à 20:11

Citation :
Montrer que la suite (u_n) est convergente et que sa limite est positive ou nulle.


Chaque fonction f_n, n \ge 1, est positive sur [1, e] et donc, par positivité de l'intégrale, pour tout entier naturel non nul n, on a u_n \ge 0.

La suite (u_n)n\ge1 est décroissante et minorée par 1. On en déduit que la suite (u_n)n\ge1 est convergente et que sa limite est forcément positive.

Posté par
Krayz
re : Intégration 19-04-18 à 20:12

Message de 20:11 vu

Le reste est correct ?

Posté par
carpediem
re : Intégration 19-04-18 à 20:12

damned ... mauvais click !!

mais bon ce que tu as fait est exact ... sans oublier les dx

Posté par
carpediem
re : Intégration 19-04-18 à 20:14

Citation :
La suite (u_n)n\ge1 est décroissante et minorée par 1
rrhhhooooo

Posté par
Krayz
re : Intégration 19-04-18 à 20:14

Salut carpediem, merci à toi

20:11 est correct ?

Posté par
carpediem
re : Intégration 19-04-18 à 20:18

carpediem @ 19-04-2018 à 20:14

Citation :
La suite (u_n)n\ge1 est décroissante et minorée par 1 ?????
rrhhhooooo

Posté par
Krayz
re : Intégration 19-04-18 à 20:18

minorée par 0*

Posté par
carpediem
re : Intégration 19-04-18 à 20:19

c'est mieux

Posté par
Krayz
re : Intégration 19-04-18 à 20:20

Citation :
Montrer que la suite (u_n) est convergente et que sa limite est positive ou nulle.


Chaque fonction f_n, n \ge 1, est positive sur [1, e] et donc, par positivité de l'intégrale, pour tout entier naturel non nul n, on a u_n \ge 0.

La suite (u_n)n\ge1 est décroissante et minorée par 0. On en déduit que la suite (u_n)n\ge1 est convergente et que sa limite est forcément positive.

C'est suffisant ?

Posté par
Krayz
re : Intégration 19-04-18 à 20:20

forcément positive ou nulle*

Posté par
carpediem
re : Intégration 19-04-18 à 20:34

éviter les "forcément" ... sinon c'est ok !

Posté par
Krayz
re : Intégration 19-04-18 à 21:05

Merci

Citation :
Soit F_n(x)=x(lnx)^{n+1} pour n \ge 1 et 1 \le x \le e.

Calculer F_n'(x). En déduire u_{n+1}+(n+1)u_n.


C'est fait. J'ai calculé F_n'(x).

Je trouve F_n'(x)=(lnx)^{n+1} + (n+1)(lnx)^n.

Posté par
Krayz
re : Intégration 19-04-18 à 21:44

Que veulent-ils entendre par en déduire... ? quel est l'intérêt ici ?

Posté par
Krayz
re : Intégration 19-04-18 à 21:58

J'ai réussi à faire l'analogie.

Après calculs, u_{n+1} = e - (n+1)u_n

Posté par
Krayz
re : Intégration 19-04-18 à 23:35

Est-ce correct svp ?

Intégration

Posté par
Krayz
re : Intégration 20-04-18 à 07:49

Le calcul est correct ?

Posté par
Krayz
re : Intégration 20-04-18 à 19:19

Qu'en pensez-vous ?

Posté par
carpediem
re : Intégration 20-04-18 à 19:21

oui c'est bon ...

mais il serait bien de nous donner l'énoncé complet au début pour savoir où on va ...

Posté par
Krayz
re : Intégration 20-04-18 à 20:07

5) a) Soit F_n(x)=x(lnx)^{n+1} pour n \ge 1 et 1 \le x \le e.

Calculer F_n'(x). En déduire u_{n+1}+(n+1)u_n.

Intégration

Posté par
Krayz
re : Intégration 20-04-18 à 20:08

Citation :
5) b) Ecrire u_{n+1} en fonction de u_n.


Intégration

Posté par
lake
re : Intégration 20-04-18 à 20:17

Bonjour,

Ben oui

Posté par
Krayz
re : Intégration 20-04-18 à 20:18

Citation :
5) c) A l'aide de cette relation, montrer que la limite de (u_n) ne peut pas être strictement positive.


Intégration

Posté par
lake
re : Intégration 20-04-18 à 20:20

On peut conjecturer que:

 u_n=(-1)^nn!\left[\text{e}\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{k!}-1\right]

et le montrer par récurrence.

Posté par
Krayz
re : Intégration 20-04-18 à 20:22

Bonsoir lake,

Est-il vraiment nécessaire de résoudre la question 5) c) de la sorte au vu des questions précédentes ?

Posté par
lake
re : Intégration 20-04-18 à 20:24

c) u_{n+1}=e-(n+1)u_n

En passant à la limite, si \lim\limits_{x\to +\infty}u_n=\ell>0

  le second membre tend vers -\infty et le premier vers \ell

[sub][/sub]

Posté par
lake
re : Intégration 20-04-18 à 20:25

Citation :
Est-il vraiment nécessaire de résoudre la question 5) c) de la sorte au vu des questions précédentes ?


Bien sûr que  non! C'était un aparté qui n'a rien à voir avec l'exercice; juste pour le "fun"

Posté par
Krayz
re : Intégration 20-04-18 à 20:26

Je comprends très bien où vous voulez en venir.

D'ailleurs, j'utilise souvent cette méthode concernant les limites de suites.

Ma réponse de 20:18 est-elle néanmoins correcte au vu des questions précédentes ?

Posté par
carpediem
re : Intégration 20-04-18 à 20:27

pourquoi des images inutiles ... puisqu'il y a de quoi rédiger sur le site ...

Intégration

prouve cette quatrième ligne ...

PS : on peut faire plus simple ... ou du moins différemment en raisonnant par l'absurde ...

Posté par
lake
re : Intégration 20-04-18 à 20:29

Oui des images; et la conclusion à la dernière ligne est fumeuse

Posté par
Krayz
re : Intégration 20-04-18 à 20:33

Je précise qu'il y a encore une dernière question qui est justement de déterminer sa limite.

Intégration

Posté par
lake
re : Intégration 20-04-18 à 20:35

Toujours aussi fumeux.

Relis 20h24

Posté par
Krayz
re : Intégration 20-04-18 à 20:39

\longrightarrow Raisonnement par l'absurde.

Car [...] u_n > 0 et par l'absurde on trouverait que u_{n+1} tend vers -\infty.

Impossible.

Posté par
lake
re : Intégration 20-04-18 à 20:42

Oui absurde parce que \lim\limits_{n\to +\infty}u_n=\lim\limits_{n\to +\infty}u_{n+1}=\ell \geq 0

Posté par
Krayz
re : Intégration 20-04-18 à 20:44

Compris.

Et la dernière,

Citation :
6) En déduire la limite de (u_n).


Intégration

Posté par
lake
re : Intégration 20-04-18 à 20:47

Moi je ne m'embêterais pas avec un encadrement.

On sait que la suite (u_n) est positive et convergente.

Sa limite est donc positive ou nulle.

On vient de prouver qu'elle n'est pas strictement positive.

Alors ?

Posté par
Krayz
re : Intégration 20-04-18 à 20:52

Donc elle est forcément nulle.
Ma réponse est inccorecte ?

Posté par
lake
re : Intégration 20-04-18 à 20:53

Non, elle est correcte, mais pas dans l'esprit de l'énoncé. La mienne, oui

Posté par
Krayz
re : Intégration 20-04-18 à 20:56

Très bien

Bonne soirée et merci.

Posté par
lake
re : Intégration 20-04-18 à 21:00

Bonne soirée à toi et de rien Krayz

Mine de rien en rapprochant ton exercice de 20h20, on a (presque)  prouvé que:

 \lim\limits_{n\to +\infty}\sum_{k=0}^n\dfrac{(-)^k}{k!}=\dfrac{1}{\text{e}}

Posté par
lake
re : Intégration 20-04-18 à 21:01

Zut!
  
 \lim\limits_{n\to +\infty}\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{k!}=\dfrac{1}{\text{e}}

Posté par
Krayz
re : Intégration 20-04-18 à 21:12

C'est vrai, tu as raison

Cela convient-il ?

Intégration

Posté par
lake
re : Intégration 20-04-18 à 21:29

Le "Or,... ne sert à rien.

On peut le remplacer par "Contradiction". (les deux membres tendent vers des limites différentes).

Donc la limite de u_n n'est pas strictement positive.

Posté par
Krayz
re : Intégration 20-04-18 à 21:31

Merci bien et bon week end lake

Posté par
lake
re : Intégration 20-04-18 à 21:32



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