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Niveau maths spé
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integration

Posté par
seif987552
21-09-18 à 18:42

Bonsoir,
est ce correct de dire que f(x)=ln(x)ex nest pas integrable sur ]0,1] car lim f(x) en 0+ = -
merci

Posté par
jsvdb
re : integration 21-09-18 à 18:48

Bonsoir seif987552.
Oui, en première approximation, il est correct de le dire si on considère l'intégrale de Riemann.
Néanmoins, on peut donner un sens à l'intégrale en question par passage à la limite.

Posté par
seif987552
re : integration 21-09-18 à 18:51

et si on procédé de cette maniéré:
ln(x)ex  équivalant a ln(x) en 0+
et ln(x) est un petit o de 1/t2 donc ln(x) diverge en  ]0,1]
d'ou ln(x)ex diverge

Posté par
jsvdb
re : integration 21-09-18 à 18:56

Il suffit de remarquer que, graphiquement, l'aire sous la courbe y=ln(x) entre 0 et 1 est la même que l'aire sous la courbe y=exp(x) entre - et 0, laquelle vaut 1.
Donc l'intégrale que tu cherches n'est pas divergente puisque exp est bornée sur un voisinage de 0.

Posté par
etniopal
re : integration 21-09-18 à 18:58

f est continue et < 0 sur ]0 , 1[  .
f  est donc   intégrable   SSI   01 f > - .

Posté par
carpediem
re : integration 21-09-18 à 18:59

salut

non ce n'est pas correct  !!

la fonction f(x) = ln (x) ex est intégrable sur tout intervalle [a, b] fermé (donc borné) inclus dans son ensemble de définition

et son intégrale généralisée sur l'intervalle ]0, 1] existe !!!
(c'est une intégrale de Riemann impropre ... convergente puisque sa limite sur l'intervalle ][h, 1] existe quand h --> 0

Posté par
seif987552
re : integration 21-09-18 à 19:01

j'ai pas compris pourquoi elle converge sur ]0,1] (j'ai fait une faute de frappe la fonction est f(x)=ln(x)exp(-x)) sur ]0,1]

Posté par
seif987552
re : integration 21-09-18 à 19:06

je crois que mon choix pour 1/x2 était mauvais car on peut dire que
ln(x) = o(1/x) donc converge est-ce correct

Posté par
jsvdb
re : integration 21-09-18 à 19:07

La fonction exp(-x) est bornée sur ]0;1] donc on va oublier ce terme.
La fonction ln est intégrable sur ]0;1] car, par exemple, tu peux écrire \frac{-1}{\sqrt x} < \ln(x) sur ]0;1] et la fonction \frac{-1}{\sqrt x} est intégrable (généralisée) sur ]0;1].

Posté par
luzak
re : integration 21-09-18 à 20:57

@seif987552 :
Dans tes comparaisons (avec les "o") il manque une hypothèse très importante !



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