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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Intégration

Posté par
Hyonik
19-10-18 à 14:43

Bonjour, pouvez vous m'aider sur cet exercice?
Voici l'énoncé : Déterminer pour quelles valeurs de alpha > 0 la fonction t -> (1-(1/t^alpha))^t  est intégrable sur ]1, l'infini[.

Alors j'ai dit qu'il y a un problème au voisinage de 1 et au voisinage de l'infini. Mais en 1, on se rend compte que c'est un faux problème vu que quand on remplace t par 1, on a 0.
Et en l'infini, je suis passé à l'exponentielle, j'ai fait le DL de ln(1-(1/t)t^alpha); j'ai ensuite multiplié par t et j'ai ensuite utilisé le DL de e^x ou x est le DL de ln multiplié par t. Et je me retrouve avec un 1 + quelquechose ou le quelque chose converge quand alpha est strictement supérieur à 2 par riemann.

Qu'en pensez vous? Merci  d'avance

Posté par
verdurin
re : Intégration 19-10-18 à 16:45

Bonsoir,
je ne comprends pas ce que tu fais au voisinage de l'infini.

La fonction est-elle bien t \mapsto\Bigl(1-\frac1{t^\alpha}\Bigr)^t\ ?

Posté par
Hyonik
re : Intégration 19-10-18 à 17:02

C'est bien ça. Mais on me demande de prouver que c'est intégrable sur l'intervalle ouvert ]1, l'infini[ donc il faut que je travaille au niveau des 2 voisinages je pense.

Posté par
verdurin
re : Intégration 19-10-18 à 17:47

En 1, comme tu l'as dit, il n'y a pas vraiment de problème.

En plus l'infini on utilise

\bigl(1-\frac1{t^\alpha}\bigr)^t=\exp\Big(t\cdot\ln\bigl(1-\frac1{t^\alpha}\bigr)\Bigr)

et on fait un dl à l'ordre 1 du logarithme.

Ce qui permet, par exemple de voir que

\lim_{t\to+\infty}\bigl(1-\frac1{t^3}\bigr)^t=1

et de conclure que l'intégrale n'est pas convergente pour \alpha=3.

Posté par
Hyonik
re : Intégration 20-10-18 à 14:15

Je ne comprend pas ton raisonnement. Je ne vois pas pourquoi pour alpha = 3, ça ne fonctionne pas...

Posté par
Hyonik
re : Intégration 20-10-18 à 14:23

Moi je trouve qu'en alpha =2, ça ne marche pas mais en alpha = 3, je ne vois pas pourquoi...



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