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Niveau terminale
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Intégration avec Trigo

Posté par
Sharco
28-04-18 à 20:04

Bonjour, mon professeur m'a donné a faire un problème assez compliqué et je ńai pas réussi à le faire. Le voici:

On a une suite définie pour tout n appartenant a N, avec U0=4pi/3 et Un=l'intégrale de 0 a pi de cos(nx)/[(5/4)-cosx]

Le but est de montrer que U1=2pi/3.

Voila merci d'avance!

Posté par
Pirho
re : Intégration avec Trigo 28-04-18 à 22:36

Bonsoir,

tu dois vraiment résoudre l'intégrale   U_1=\int_0 ^{\pi} \dfrac{4~cos(x)}{5-4~cos(x)}dx

sauf erreur de ma part, ce n'est pas au programme de terminale en France

tu étudies dans quel pays?

Posté par
ilyass59
re : Intégration avec Trigo 29-04-18 à 00:54

Bonjour, Bonsoir,

 U_0=\int_0 ^{\pi} \dfrac{1}{5/4-~cos(x)}dx   = 4/3


 U_0=\int_0 ^{\pi} \dfrac{cos(x)+1-cos(x)}{5/4-~cos(x)}dx

 U_0=\int_0 ^{\pi} \dfrac{cos(x)}{5/4-~cos(x)}dx + \int_0 ^{\pi} \dfrac{1-cos(x)}{5/4-~cos(x)}dx

 U_0=U_1 + \int_0 ^{\pi} \dfrac{5/4 - 1/4 -cos(x)}{5/4-~cos(x)}dx

 U_0=U_1 + \int_0 ^{\pi} \dfrac{5/4 -cos(x)}{5/4-~cos(x)}dx - 1/4 \int_0 ^{\pi} \dfrac{1}{5/4-~cos(x)}dx

 U_0=U_1   + - 1/4  U_0

 U_0 tu l'as ! je te laisse conclure!

Posté par
Razes
re : Intégration avec Trigo 29-04-18 à 01:13

Pirho @ 28-04-2018 à 22:36

Bonsoir,

tu dois vraiment résoudre l'intégrale   U_1=\int_0 ^{\pi} \dfrac{4~cos(x)}{5-4~cos(x)}dx

sauf erreur de ma part, ce n'est pas au programme de terminale en France

tu étudies dans quel pays?

C'est plutôt: U_1=\int_0 ^{\pi} \dfrac{4\cos(nx)}{5-4\cos(x)}dx

Posté par
Pirho
re : Intégration avec Trigo 29-04-18 à 08:28

Bonjour,

Razes mais puisqu'on calcule pour n =1, U_n=U_1, non?

on trouve d'ailleurs  \dfrac{2\pi}{3}

pour n=0 on peut écrire l'expression donnée par ilyass59

mais c'est une suite

Posté par
alb12
re : Intégration avec Trigo 29-04-18 à 09:02

salut,
il semble que u soit une suite geometrique de raison 1/2
Peut-on demontrer cette conjecture ?

Posté par
alb12
re : Intégration avec Trigo 29-04-18 à 09:16

un truc pour ecrire de belles integrales:


 \\ \begin{aligned}
 \\ u(n)=\int_0^\pi\dfrac{\cos(nx)}{\frac54-\cos x}\;\mathrm{d}x
 \\ \end{aligned}
 \\

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Intégration avec Trigo 01-05-18 à 09:56

Bonjour,
Pas trop le temps d'approfondir, mais j'ai l'impression que dériver tan-1(3tan(x/2)) peut être utile pour calculer u0 et u1 .
Je confirme qu'il semblerait que la suite soit géométrique de raison 1/2 .

Posté par
alb12
re : Intégration avec Trigo 01-05-18 à 10:23

les 5 premieres primitives

Posté par
lake
re : Intégration avec Trigo 01-05-18 à 11:59

Bonjour,

\begin{aligned}
 \\   I_n=\int_0^{\pi}\dfrac{\cos\,nx}{5-4\,\cos\,x}\,\text{d}x
 \\ \end{aligned}

\cos\,(n+2)x=2\,\cos\,x\,\cos\,(n+1)x-\cos\,nx

\begin{aligned}
 \\ I_{n+2}=\dfrac{1}{2}\,\int_0^{\pi}\dfrac{4\,\cos\,x\,\cos\,(n+1)x}{5-4\,\cos\,x}\text{ d}x-I_{n}=\dfrac{1}{2}\,\int_0^{\pi}\dfrac{(4\,\cos\,x-5+5)\,\cos\,(n+1)x}{5-4\,\cos\,x}\text{ d}x-I_n
 \\ \end{aligned}

\begin{aligned}
 \\ I_{n+2}=-\dfrac{1}{2}\,\int_0^{\pi}\cos\,(n+1)x\text{ d}x+\dfrac{5}{2}\,I_{n+1}-I_{n}
 \\ \end{aligned}

I_{n+2}=\dfrac{5}{2}\,I_{n+1}-I_n

I_{n+2}-\dfrac{1}{2}\,I_{n+1}=2\,\left(I_{n+1}-\dfrac{1}{2}\,I_n\right)

  avec I_1-\dfrac{1}{2}\,I_0=0

On a bien I_{n+1}=\dfrac{1}{2}\,I_n

Posté par
larrech
re : Intégration avec Trigo 01-05-18 à 12:14



Trois jours que je séchais...

Posté par
lake
re : Intégration avec Trigo 01-05-18 à 12:23

Bonjour larrech,

Toi au moins tu ne seiches pas, comme certains

Posté par
larrech
re : Intégration avec Trigo 01-05-18 à 12:25

Bonjour lake,

Posté par
alb12
re : Intégration avec Trigo 01-05-18 à 16:48

pour un jour chômé c'est plutôt pas mal

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Intégration avec Trigo 01-05-18 à 20:52

Bonjour,
Impressionnant !

Posté par
lake
re : Intégration avec Trigo 01-05-18 à 21:04

Bonsoir à tous,

Euh... fô pas exagérer

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Intégration avec Trigo 03-05-18 à 08:57

Bonjour,
Ma modeste contribution pour l'amorce :

\\ \begin{aligned} \\ u_{n} = \int_0^\pi\dfrac{\cos(nx)}{\frac54-\cos x}\;\mathrm{d}x  =  \int_0^\pi \dfrac{4\cos(nx)}{5-4\cos x}\;\mathrm{d}x  \\ \end{aligned} \\   
 \\

\\ \begin{aligned} \\f_{0}(x) = \frac{4}{5-4\cos x}\\ \end{aligned} \\ \\ \begin{aligned} \\f_{1}(x) = \frac{4\cos x}{5-4\cos x}\\ \end{aligned} \\

f_{1}(x) = \frac{5}{4} f_{0}(x) - 1 . D'où u_{1} = \frac{5}{4}u_{0} - \pi .

Avec F(x) = tan^{-1}(3 tan(\frac{x}{2})) on a \\ \begin{aligned} \\F'(x) = \frac{3}{2} \times \frac{1}{5-4cos x}\\ \end{aligned} \\ .
D'où \\ \begin{aligned} \\u_{0} = \frac{8}{3} (F(\pi ) - F(0))\\ \end{aligned} \\ .

Bon, il faut prolonger F en \pi par \\ \begin{aligned} \\\frac{\pi }{2}\\ \end{aligned} \\ pour trouver le \\ \begin{aligned} \\\frac{4\pi }{3}\\ \end{aligned} \\ de l'énoncé...

Posté par
alb12
re : Intégration avec Trigo 03-05-18 à 12:13

on peut toujours calculer l'integrale par le changement de variable t=tan(x/2)
mais ce n'est plus du niveau lycee.



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