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Intégration de fraction rationnelle

Posté par
Edison 26-06-18 à 22:03

Bonsoir j'ai une question à vous poser concernant les fractions rationnelles.

Je dois calculer l'intégrale de k(x)=\frac{x^4-x^3+x^2-x+1}{x^3+x}

L'objectif est de décomposer la fraction rationnelle suivante en éléments simples que l'on sait primitiver.

Tout d'abord on peut voir que le degré du numérateur est supérieur ou égale au degré du dénominateur donc on effectue la division euclidienne du numérateur par le dénominateur.

J'ai obtenu : x^4-x^3+x^2-x+1 = (x^3+x)(x-1)+1

maintenant on égalise les deux expressions :

\frac{x^4-x^3+x^2-x+1}{x^3+x} = \frac{(x^3+x)(x-1)+1}{x^3+x}

on simplifie l'expression de gauche : \frac{x^4-x^3+x^2-x+1}{x^3+x} = x-1 + \frac{1}{x^3+x}

ensuite on met le polynôme x^3+x sous sa forme irréductible :

\frac{x^4-x^3+x^2-x+1}{x^3+x} = x-1 + \frac{1}{x(x^2+1)}

puis on essaye d'exprimer le polynôme \frac{1}{x(x^2+1)} comme la somme de deux polynômes, pour se faire on fait appel aux deux éléments simples qui sont :

\\ \frac{\omega }{(x+a)^n} et \frac{\alpha x+\beta }{(x^2+bx+c)^n}

d'où on obtient :

\frac{x^4-x^3+x^2-x+1}{x^3+x} = x-1 + \frac{\omega }{x}+\frac{\alpha x+\beta }{x^2+1} \; \omega, \alpha, \beta \mathbb \in{R}

maintenant on multiplie à gauche et à droite par x^3+x afin d'enlever tous les dénominateurs, on obtient :

(x^4-x^3+x^2-x+1)(x^3+x) = (x-1)(x^3+x) + \omega(x^2+1)+(\alpha x+\beta)x

ensuite il faut déterminer les valeurs de \omega,\alpha,\beta et c'est précisément ici ou je bloque...

pour déterminer   \omega j'ai juste à faire :

x=0\Rightarrow 0=\omega

néanmoins comment dois-je procéder pour déterminer \alpha et \beta ?

Si vous savez comment trouver les valeurs de ces 3 variables sans essayer de "deviner" un x qui permettrait de déterminer leurs valeurs je suis tout ouïe, merci d'avance pour votre aide!

Posté par
larrechre : Intégration de fraction rationnelle 26-06-18 à 22:31

Bonsoir,

On écrit  \dfrac{1}{x(x^2+1)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{bx+c}{x^2+1}

En multipliant par x et en faisant x=0, on obtient a

En multipliant par x et en faisant tendre x   vers l'infini, à la limite, on obtient a+b

Enfin, en multipliant par x^2+1 et en faisant[  tex] x=i[/tex], on termine

Posté par
Razesre : Intégration de fraction rationnelle 26-06-18 à 22:31

Ton dernier calcul est faux.

\dfrac{1}{x(x^{2}+1)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{bx+c}{x^{2}+1}, plus simple sous cette forme.

1=a(x^{2}+1)+(bx+c)x\Leftrightarrow A résoudre  ....

Posté par
Priamre : Intégration de fraction rationnelle 26-06-18 à 22:31

1/[x(x² + 1)] = m/x + (ax + b)/(x² + 1) .
En multipliant tous les termes par  x , il vient
1/(x² + 1) = m + (ax² + bx)/(x² + 1) .
Si  x  tend vers l'infini, cette égalité devient
0 = m + a .
Il faudrait maintennt trouver deux autres relations entre  m , a  et  b .

Posté par
Razesre : Intégration de fraction rationnelle 26-06-18 à 22:33

Razes @ 26-06-2018 à 22:31

Ton dernier calcul est faux.

\dfrac{1}{x(x^{2}+1)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{bx+c}{x^{2}+1}, plus simple sous cette forme.

1=a(x^{2}+1)+(bx+c)x\Leftrightarrow A résoudre  ....
A identifier a,b,c

Posté par
lafol Moderateurre : Intégration de fraction rationnelle 26-06-18 à 22:49

larrech @ 26-06-2018 à 22:31

Bonsoir,

On écrit \dfrac{1}{x(x^2+1)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{bx+c}{x^2+1}

En multipliant par x et en faisant x=0, on obtient a

En multipliant par x et en faisant tendre x vers l'infini, à la limite, on obtient a+b

Enfin, en multipliant par x^2+1 et en faisant[ tex] x=i[/tex], on termine


Bonsoir
même pas besoin de la deuxième étape : la dernière donnera les deux coeffs (réels) d'un coup, en identifiant partie réelle et partie imaginaire

Posté par
lafol Moderateurre : Intégration de fraction rationnelle 26-06-18 à 22:52

sinon, on a le droit d'ouvrir lesyeux, et de se souvenir que 1 = 1+x ²- x², donc \dfrac{1}{x(x^2+1)} = \dfrac{1+x^2}{x(x^2+1)}-\dfrac{x^2}{x(x^2+1)} = \dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{x^2+1}

Posté par
larrechre : Intégration de fraction rationnelle 26-06-18 à 23:26

lafol @ 26-06-2018 à 22:49


Bonsoir
même pas besoin de la deuxième étape : la dernière donnera les deux coeffs (réels) d'un coup, en identifiant partie réelle et partie imaginaire


Merci. L'objectif est moins de traiter ce cas ultra simple que de lui donner quelques petites "astuces" couramment utilisées dans la pratique.

Posté par
lafol Moderateurre : Intégration de fraction rationnelle 27-06-18 à 06:52

C'est couramment utilisé dans la pratique ! Si le trinome a deux racines complexes conjuguées, une de ces racines et 1 constituent une base du IR ev C. On obtient en évaluant en cette racine deux équations réelles qui donnent les deux coeffs d'un coup

Posté par
larrechre : Intégration de fraction rationnelle 27-06-18 à 09:34

J'ai dit le contraire ? Plus simplement on sépare parties réelles et imaginaires et on identifie. Mais c'est tellement plus savant comme ça.

Posté par
Edisonre : Intégration de fraction rationnelle 27-06-18 à 10:00

Merci beaucoup pour vos réponses j'ai pas complètement compris tous vos raisonnements mais je pense avoir trouvé, en partant de l'expression que donne Razes :

1 = a(x^{2}+1)+(bx+c)x\Leftrightarrow 1 = ax^2+a+bx^2+cx

on factorise par x d'où on obtient :

x^2(a+b)+cx+a = 1 \Leftrightarrow \left a+b = 0, c = 0

d'où on a :

a=1
b=-1 car a+b=0
c=0

on peut donc remplacer a b et c par leurs valeurs respectives :

\frac{x^4-x^3+x^2-x+1}{x^3+x} = x-1 + \frac{1 }{x}+\frac{-x }{x^2+1}

on sait primitiver chaque terme de l'expression obtenu donc :

\int \frac{x^4-x^3+x^2-x+1}{x^3+x}dx = \int (x-1)dx + \int \frac{1 }{x}dx+\int \frac{- x }{x^2+1}dx

on arrangement légèrement :

\int (x-1)dx + \int \frac{1 }{x}dx+\int \frac{-x }{x^2+1}dx \Leftrightarrow \int (x-1)dx + \int \frac{1 }{x}dx-\frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2+1}dx

et ainsi :

\int (x-1)dx + \int \frac{1 }{x}dx+\int \frac{- x }{x^2+1}dx = \frac{x^2}{2}-x+ln|x|-\frac{ln(x^2+1)}{2}+c

Encore une fois merci pour tous vos conseils !

Posté par
Edisonre : Intégration de fraction rationnelle 27-06-18 à 10:41

Par contre ici la décomposition de \frac{1}{x(x^2+1)} en élément simple est facile étant donné qu'on a une constante au numérateur mais comment décomposer en élément simple une fraction rationnelle comme celle-ci : \frac{2x^2+5x+4}{x(x+1)(x+2)} ?

Posté par
larrechre : Intégration de fraction rationnelle 27-06-18 à 11:25

Regarde ce qu'on a écrit lafol ou moi.

On sait a priori que \dfrac{2x^2+5x+4}{x(x+1)(x+2)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+1}+\dfrac{C}{x+2}

Il n' y a que des pôles simples. Donc ultra facile

1/ On multiplie successivement par x  ,  x+1,    x+2 et on fait respectivement x=0,   x=-1,   x=-2 ce qui donne immédiatement A, B et C

2/ on peut aussi donner des valeurs particulières simples à x pour obtenir un système de trois équations à trois inconnues, mais c'est assez ridicule ici

3/ on peut toujours réduire au même dénominateur dans le membre de droite et identifier, mais c'est assez bourrin.

J'en oublie peut-être...

Posté par
Edisonre : Intégration de fraction rationnelle 27-06-18 à 11:34

Merci beaucoup larrech effectivement j'ai obtenu A = 1, B = -1 et C = 2 je commence enfin à comprendre comment trouver la valeur des coefficients toutefois j'aimerai être sur d'une chose, on décompose une fraction rationnelle dans cette forme là \frac{\alpha x+\beta }{(x^2+bx+c)^n} uniquement quand l'expression du dénominateur est irréductible dans R et que le terme de plus au degré est strictement supérieur à 1 ?

Posté par
larrechre : Intégration de fraction rationnelle 27-06-18 à 11:52

Je ne comprends pas bien la question.

Si dans la mise en facteur du dénominateur de la fraction à décomposer apparaît un terme du type (x^2+bx+c)^n , le trinôme étant irréductible dans \mathbb{R}, il lui correspondra dans la décomposition cherchée une somme de termes de la forme

\dfrac{ax+b}{(x^2+bx+c)}+\dfrac{cx+d}{(x^2+bx+c)^2}+\dots+\dfrac{ux+v}{(x^2+bx+c)^n}

Et là, ça devient nettement plus casse-pieds pour déterminer les coeffs, a, b, c, etc.

Tu peux regarder là

Posté par
Edisonre : Intégration de fraction rationnelle 27-06-18 à 11:58

Parfait merci beaucoup c'est bien plus clair désormais


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