Rebonjour
j'ai dû mal à lire. Utilise les commandes LTx (latex) s.t.p

-Sup_K(f).1_K f.1_K Sup_K(f).1_K
et tu intègres .

Je ne connaissais pas l'existence de cette commande latex, merci de me l'apprendre !

Merci beaucoup de votre aide ethniopal !
Ca m'a permit de bien avancer ! Voici un début de preuve :

-SupK(f).1K< f.1K < SupK(f).1K
que j'intègre comme : \int_{K}^{}{-Sup(f).1.dµ} <\int_{K}^{}{f.1K.dµ} < \int_{K}^{}{SupK(f).1K.dµ }

Puis je simplifie puisque \int_{K}^{}{f.1K} = \int_{K}^{}{f.dµ } où µ est la mesure de lesbesgue
et \int_{K}^{}{-Sup(f).1}  = - \int_{K}^{}{Sup(f).1 .dµ }

Donc on a : l \int_{K}^{}{f.dµ } l < \int_{K}^{}{Sup(f).1 .dµ }
Soit xk tel que f(xk) = Sup f
Alors  l \int_{K}^{}{f.dµ } l < f(xk). \int_{K}^{}{1 .dµ }
Or \int_{K}^{}{1 .dµ }  = µ(K) où µ est la mesure de Lebesgue

Finalement, on obtient il existe xk such that l \int_{K}^{}{f.dµ } l < f(xk).µ(K)
Par contre, je ne parvient pas à enlever proprement les valeurs absolues..

Pour la question b)
On  a f continue sur C1(x0) qui est une boule fermée de rayon 1 et de centre xo.
Je ne vois pas le "piège" de la question. Est-ce juste une application puisque la boule fermée C1(x0) est compacte et connectée (compacte c'est sûr et j'ai vu sur un forum en ligne que toute boule fermée est connectée) ?

Je recommence, je ne maitrise pas encore latex

Merci beaucoup de votre aide ethniopal !
Ca m'a permit de bien avancer ! Voici un début de preuve :

-SupK(f).1K< f.1K < SupK(f).1K
que j'intègre comme : <<

Puis je simplifie puisque = où µ est la mesure de lesbesgue
et = -

Donc on a : l l <
Soit xk tel que f(xk) = Sup f
Alors  l ^{\int_{K}^{}{f.dµ }} l < f(xk).
Or = µ(K) où µ est la mesure de Lebesgue

Finalement, on obtient il existe xk such that l l < f(xk).µ(K)
Par contre, je ne parvient pas à enlever proprement les valeurs absolues..

Pour la question b)
On  a f continue sur C1(x0) qui est une boule fermée de rayon 1 et de centre xo.
Je ne vois pas le "piège" de la question. Est-ce juste une application puisque la boule fermée C1(x0) est compacte et connectée (compacte c'est sûr et j'ai vu sur un forum en ligne que toute boule fermée est connectée) ?

De  -Sup_K(f).1_K    f.1_K    Sup_K(f).1_K  tu déduis que    f.1_K /(K)  est un élément de [ -Sup_K(f) ,   Sup_K(f)] .

f est continue et K compact et convexe (donc connexe ) .
f(K) est donc un compact connexe de . C'est donc un intervalle compact  et même f(K) = [ -Sup_K(f) ,   Sup_K(f)] .

Pour l'autre question :
On se donne a ⁿ et  on  pose , pour r > 0 ,  K_r := { x   ⁿ  │ ||x- a || r } , m(r) = (K_r) .
On se donne aussi f : K₁ continue .

Ces   K_r sont des compacts convexes .
Pour tout r il existe donc  x_r K_r tel que  l'intégrale de f sur K_r = m(r).f(x_r )
Comme x_r a quand r 0,  on a f(x_r )   f(a)  (quand r 0 ) .
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