Bonjour à tous, j'aurais souhaité avoir votre avis sur la question de l'intégrabilité du ln sur ]0,1].

Voici comment je montrerais cette intégrabilité:

voici une première façon:

puisque la fonction qui à x associe ln(x) est continue sur ]0,1], le seul problème d'intégrabilité se trouve en 0.

Or x .|ln(x)| tend vers 0 lorsque x tend vers 0⁺, donc au voisinage de 0,
0x.|ln(x)|1
Donc |ln(x)|(1/x)^1/2
et comme (1/x)^1/2 est intégrable sur ]0,1], on en déduit d'après l'exemple de Riemann et le théorème de majoration pour les fonctions positives que ln est intégrable sur ]0,1]

une autre façon qui me pose d'avantage problème est la suivante:

par IPP, X]0,1], l'intégrale de X à 1 de ln(x) vaut: X-X.ln(X)-1 qui tend vers -1 lorsque X tend vers 0.
J'en conclus que l'intégrale de ln sur ]0,1] converge mais je ne peux pas dire que celle-ci est intégrable puisque le ln est négatif sur ]0,1].

Dans ce cas, puis-je considérer l'intégrale de la valeur absolue de ln(x) qui vaut 1 et conclure que le ln est intégrale sur ]0,1] puisque l'intégrale de |ln(x)| sur ]0,1], qui est bien positive admet une limite finie (égale à 1)?

Et que pensez-vous de ma première façon?

Merci d'avance pour vos réponses.