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intégration multiple bornes

Posté par
slein1998 08-06-18 à 13:59

Bonjour,

j'ai un problème avec l'intégration multiple et la définition des ensembles. Je viens de comprendre comment fixer les fonctions par rapport aux paramétrisations demandées mais je ne vois pas comment connaître / trouver les bornes. Là j'ai pris un exemple assez simple :


D = { (x,y) \in \mathbb R^2 : 0 < x < y < 2x \ ; \ 4 < x^2 + y^2 \ ; xy < 4 } \\ f : D \rightarrow \mathbb R ; \mathcal C^0 \\ f : (x,y) \rightarrow xy

Avec ces données, on trouve facilement quelles fonctions poser, mais je ne sais pas comment retrouver les bornes des 4 intervalles. Pourriez vous m'aider svp ?

merci !

Posté par
lakere : intégration multiple bornes 08-06-18 à 14:16

Bonjour,

Et avec un dessin ?

intégration multiple bornes

Posté par
Camélia Correcteurre : intégration multiple bornes 08-06-18 à 14:18

Bonjour

As-tu fait un dessin? En fait on a deux paramétrisations différentes.
D'une part 2 /\sqrt 5 < x \leq 2 et \sqrt{4-x^2} < y < 2x.
Puis, \sqrt 2 < x < 2 et x < y < 4/x

Posté par
slein1998re : intégration multiple bornes 08-06-18 à 14:23

alors merci pour le dessin, une question subsidiaire comment avez vous fait j'adorerais pouvoir moi même faire ce genre de dessin?

Mais là mon objectif est d'avoir une méthode qui ne me contraint pas à faire de dessin... Sinon pour trouver les bornes il faut réellement faire un dessin exact.

Et donc oui j'arrive maintenant à trouver les équations des 4 côtés mais ce qui me manque c'est les intervalles

Posté par
lakere : intégration multiple bornes 08-06-18 à 14:51

Le dessin, je l'ai fait avec GeoGebra, un logiciel libre et gratuit que tu peux télécharger.

Les "intervalles" ? Camélia que je salue te les a donnés (avec une petite faute de frappe):

  

Citation :
D'une part  2 /\sqrt 5 < x \leq {\red\sqrt{2}} et \sqrt{4-x^2} < y < 2x.
Puis,  \sqrt 2 < x < 2 et x < y < 4/x


Imagine que l'équation de l'hyperbole soit xy=1 au lieu de xy=4: le domaine devient l'ensemble vide. Pas facile à visualiser sans dessin...


  

Posté par
Camélia Correcteurre : intégration multiple bornes 08-06-18 à 14:54

Salut lake, merci pour la faute de frappe. J'ai trouvé les intervalles en contemplant un dessin!

Posté par
lafol Moderateurre : intégration multiple bornes 08-06-18 à 18:54

Bonjour
un dessin, au moins un croquis approximatif, me paraît indispensable dans ce genre de situation, non ?

Posté par
alb12re : intégration multiple bornes 08-06-18 à 20:28

salut,

slein1998 @ 08-06-2018 à 14:23

j'adorerais pouvoir moi même faire ce genre de dessin?

de nombreux logiciels possedent une commande du type plotinequation, par ex sous Xcas:
plotinequation([x>0,x<y,y-2x<0,x^2+y^2>4,x*y<4],[x=0..3,y=0..3],xstep=0.01,ystep=0.01,display=1)
colorie le domaine en rouge.

Posté par
slein1998re : intégration multiple bornes 08-06-18 à 21:59

merci pour l'explication sur le graphique.


Donc dans ce genre de cas il faut toujours faire un dessin ? on ne peut pas imaginer autrement le résultat ?

Si il faut absolument faire un dessin, pourrais je vous demander comment faire dans ce cas ci (où j'ai l'impression que la situation est plus compliqué que celle-là, et je serais curieux de savoir comment faire avec un dessin)

On a une intégrale entre 0 et (1- epsilon) au carré selon x et y. Maintenant on pose le changement de variable : x = u-v et y = u + v. Comment fait-on pour trouver les bornes?


Je vous remercie!

Posté par
larrechre : intégration multiple bornes 08-06-18 à 23:14

Bonsoir,

Je ne suis pas sûr de bien comprendre. On intègre dans un domaine tel que 0\leq x \leq(1+\epsilon) et 0\leq y \leq(1+\epsilon), et on fait le changement de variables ?

Posté par
lafol Moderateurre : intégration multiple bornes 08-06-18 à 23:22

la borne du haut est (1 -\varepsilon)^2, non ?

Posté par
lafol Moderateurre : intégration multiple bornes 08-06-18 à 23:23

mais ça ne change rien :

a < x < b et c < y < d entrainent a+c < x+y < b + d et a-d < x-y < b - c

Posté par
slein1998re : intégration multiple bornes 09-06-18 à 11:37

larrech @ 08-06-2018 à 23:14

Bonsoir,

Je ne suis pas sûr de bien comprendre. On intègre dans un domaine tel que 0\leq x \leq(1+\epsilon) et 0\leq y \leq(1+\epsilon), et on fait le changement de variables ?


oui c'est ça.


D'accord je comprends mieux mon erreur je me retrouvais avec un intervalle de 0 à 0... débutant que je suis.

Donc au final on trouve comme intervalle :

u \in [ 0, 1/2 (1- \varepsilon) ] v \in [ 1/2(-1+ \varepsilon) , 1/2 (1- \varepsilon) ]

ma question est, comment savoir où placer les extrémités du carré ? après tout ici, on a simplement des intervalles de valeurs pour les deux variables...

je vous remercie!

Posté par
larrechre : intégration multiple bornes 09-06-18 à 13:00

Dans le plan (xOy), on intègre dans le domaine D délimité par les droites x=0, y=0, x=1+\epsilon, y= 1+\epsilon (l'intérieur d'un carré)

Dans le plan (uOv) ce domaine devient D', autre carré, délimité respectivement par les droites, v=u, v=-u, v=u-1-\epsilon,  v= -u+1+\epsilon.

Donc 0\leq u\leq 1+\epsilon, et \dfrac{-1-\epsilon }{2}\leq v \leq \dfrac{1+\epsilon}{2} mais pour les bornes de l'intégrale, c'est un peu plus compliqué. Faire un dessin.

Posté par
slein1998re : intégration multiple bornes 09-06-18 à 14:08

mais arrêtez de me dire de faire un dessin hahaha je vous dis que j'ai tous les dessins j'ai les solutions j'ai l'énoncé mais j'ai juste pas la méthode hahaha svp comment faire?

J'ai compris (je l'ai dit il y a quelques messages), ok il faut faire un dessin
maintenant ma question c'est comment on fait pour savoir dans des cas plus compliqué ?
moi si on me donne changement de variable je sais pas faire de dessin. Pour moi le chgmt de variable s'applique sur les bornes et pas sur la forme...
J'ai pas de METHODE pour modifier la forme d'un objet rien que par un changement de variable.
Ou si j'ai une méthode c'est pour des cas simples, et pas des cas couplés.

C'est d'ailleurs pour ça que je vous ai écrit cette exemple c'est pour comprendre ce cas plus compliqué!

merci !

Posté par
slein1998re : intégration multiple bornes 09-06-18 à 14:09

en fait je précise par rapport à ton message larrech, oui une fois que je connais les droites délimitant mon carré, je vois très bien les intersections. Mais comment pose tu ces droites ? comment sais tu quelles droites délimitent ton carré?

Posté par
larrechre : intégration multiple bornes 09-06-18 à 14:18

Désolé pour l'histoire du dessin...

On a une transformation linéaire en u et v . Une droite se transforme en une droite.
Je ne connais pas de METHODE générale, ce sont des cas d'espèce.

J'en resterai là pour ce qui me concerne, il ne manque pas d'intervenants bien plus qualifiés qui ne manqueront pas de prendre le relais s'ils le souhaitent.

Posté par
Camélia Correcteurre : intégration multiple bornes 09-06-18 à 14:25

Je ne sais pas si je suis plus qualifiée, mais je suis sûre qu'il n'y a pas de méthode générale.
On regarde à chaque fois et… quitte à t'énerver, il faut faire un dessin!

Posté par
slein1998re : intégration multiple bornes 09-06-18 à 15:47

ok une droite reste une droite mais juste comment tu sais son équation ? je me sens désemparé je m'exprime mal ou qu'est ce qu'il se passe?

Posté par
Camélia Correcteurre : intégration multiple bornes 09-06-18 à 15:50

Tu veux dire que tu ne sais pas écrire l'équation d'une droite? Cherche les fiches sur les fonctions affines!

Posté par
slein1998re : intégration multiple bornes 09-06-18 à 16:08

j'ai mon carré avant, ma question est comment trouver le carré après sachant le changement de variable? Je sais faire l'encadrement, et maintenant j'ai besoin des équations... comment faire svp ?

Posté par
Camélia Correcteurre : intégration multiple bornes 09-06-18 à 16:18

J'ai du mal à comprendre ton problème.

On sait que 0 < x < y. On a donc xy < 4\Longleftrightarrow y<4/x et alors 4 < x^2+y^2 devient 4 < x^2+(4/x)^2 d'où x^4<x^2+16, puis x^4-x^2-16 < 0... tu dois savoir continuer!

Après avoir encadré x on sait que x < y < 2x

Posté par
lafol Moderateurre : intégration multiple bornes 10-06-18 à 23:05

les équations tu les trouves tout bêtement en remplaçant les < ou > de tes encadrements par des =
la frontière entre machin < truc et machin > truc, c'est machin = truc, tout simplement


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