Niveau BTS

integration par partie

Posté par set (invité) 20-09-04 à 16:08

j'aimerai bien qu'on m'explique clairement comment marche la derivation par partie; j'integre toutes (quasiment) toutes les fonctions mais sans veritable methode...
ex: x^2*e^(-x)dx donne
-e^-x(x^2 +2x +2) +cste
merci

Posté par re : integration par partie 20-09-04 à 16:52

Soient f = u.v
avec f, u et v des fonctions de x

df = u dv + v du

u dv = df - v du
et en intégrant:
$\int u dv = f - \int v du$
$\int u dv = u.v - \int v du$
-----

f(x) = x².e^(-x)dx

Poser x² = u -> 2x dx = du
et poser e^(-x) dx = dv  -> v = -e^(-x)

$\int x^2.e^{-x} dx = -x^2.e^{-x} + 2\int x.e^{-x} dx$ (1)
----
$\int x.e^{-x} dx$
Poser x = u ->  dx = du
et poser e^(-x) dx = dv  -> v = -e^(-x)

$\int x.e^{-x} dx = -x.e^{-x} + \int e^{-x} dx = -x.e^{-x} - e^{-x} = -(x+1).e^{-x}$ (2)
----
(1) et (2) ->
$\int x^2.e^{-x} dx = -x^2.e^{-x} - 2(x+1).e^{-x}+ C$
$\int x^2.e^{-x} dx = -e^{-x}.(x^2 + 2x+2) + C$
-----
Quelles sont les questions ?

Posté par re : integration par partie 20-09-04 à 17:05

Bonjour !!!

L'intégration par partie est très simple , tu vas voir c'est pas bien compliqué

En général , il faut l'utiliser lorsque tu as un produit de deux fonctions :a(x)*b(x) où tu sais intégrer et dériver les deux membres . Il te suffit juste d'appliquer la formule.

Ici on a $\int_^{}x^2*e^{-x} dx$

On a bien un produit de deux fonctions , tu sais intégrer $e^{-x}$ et dériver $x^2$

Donc
$u'(x)=e^{-x}$      $u(x)=-e^{-x}$
$v(x)=x^2$          $v'(x)=2x$

On utilise la formule :

$\int_^{}u'(x)*v(x)dx= [u(x)*v(x)]-\int_^{}u(x)*v'(x)dx$

$\int_^{}x^2*e^{-x} dx=[-e^{-x}*x^2]+2\int_^{}x*e^{-x}dx=-x^2*e^{-x}=-x^2*e^{-x}+2I$

I= $\int_^{}x*e^{-x} dx$

De meme on pose :

$u'(x)=e^{-x}$      $u(x)= -e^{-x}$
$v(x)=x$              $v'(x)=1$

$I=\int_^{}x*e^{-x} dx=-x*e^{-x}+\int_^{}*e^{-x} dx=-x*e^{-x}-e^{-x}$

D'où finalement

$\int_^{}x^2*e^{-x} dx=-x^2*e^{-x}-2x*e^{-x}-2*e^{-x}=-e^{-x}(x^2+2x+2)$ à une constante près

Voili voilà

Charly , hésite pas si t'as des questions

Posté par re : integration par partie 20-09-04 à 17:05

Oups , désolé J-P

Posté par re : integration par partie 20-09-04 à 17:30

"j'integre toutes (quasiment) toutes les fonctions mais sans veritable methode..."

Bein ca j'en doute fort:
intègre moi exp(-x²)dx et tu verras que c'est très compliqué...

Posté par re : integration par partie 20-09-04 à 17:41

Salut Charly,

Pas de problème.

Oui otto, quand set dit qu'il fait cela sans problème, il s'agit sûrement de toutes celles que le prof donne en exercice et certainement pas toutes celles qu'il est impossible d'exprimer par une somme finie de fonctions élémentaires comme celle que tu proposes.

Dans le même style, il y a par exemple:
$\int \frac{sin(x)}{x} dx$ ou $\int \frac{dx}{ln(x)}$ et bien d'autres.

Posté par set (invité)merci 21-09-04 à 18:20

ben dans un premier temps je tient a remercier toutes les personnes qui mon apporté de l'aide.
je tient egalement a repondre a otto; JP a parfaitement repondu a ta question car j'ai vraiment pas la pretention d'affirmer qu'aucune integrale ne me pose probleme!!! mais toutes les integrale qu'on me pose, je sais les resoudre!!
je remerci tout particulierement JP et charlynoodles merci encor!!

Posté par re : integration par partie 21-09-04 à 22:25

Ca va, je plaisantais

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