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Intégration par parties.

Posté par
Titou59 31-05-09 à 12:15

Bonjour,

Alors j'ai un petit soucis pour une ipp complexe.

Elle se fait sur ]0;+[

Je connais la fonction à intégrer : f(t)=t²e-t²/2 et sa primitive F(t)=1-e-t²/2 (données)

Donc pour résumer je dois faire  0+inft²e-t²/2.dt

On me rapelle que sur (1/2)e-x²/2.dx=1

Pour ça je pose u=t et donc u'=1

et v'=f(t) et donc v=F(t)

Donc j'intègre par parties I = [tF(t)]0+inf   -   0+infF(t).dt

[t-te-t²/2]0+inf   -   0+inf1-e-t²/2.dt

lim A0  [t-te-t²/2]A+inf   -   [t+(1/t)e-t²/2]A+inf

lim A0  [t-te-t²/2-t-(1/t)e-t²/2]A+inf

lim A0  [-te-t²/2-(1/t)e-t²/2]A+inf

LA en utilisant la propriété donnée en début sur j'en déduit que I = 0-1+0+1 = 0

Et donc en trouvant 0 je me dis que j'ai forcément commis une ou plusieurs erreur de raisonnement ! Pourriez-vous m'éclairez ?

Merci

Posté par
Titou59re : Intégration par parties. 31-05-09 à 12:17

En début d'énoncé les valeurs de f(t) et F(t) sont :

f(t)=te-t²/2 et F(t)=1-e-t²/2 ! Désolé pour les fautes de frappe avant !

Posté par
olive_68re : Intégration par parties. 31-05-09 à 12:20

Salut

Je ne comprends pas le problème tu as la fonction à intégrer et sa primitive

Donc 4$\Bigint_0^{+\infty} \ t^2\times e^{\fr{-t^2}{2}} \ dt

C'est, 4$\lim_{t \to +\infty } F(x)-F(0)

Mais en fait peux tu réécrire ton intégrale et une de ces primitives stp ? Parce que je doute de leur écriture ..

Posté par
cailloux Correcteurre : Intégration par parties. 31-05-09 à 12:20

Bonjour,

Regarde ici:

Posté par
olive_68re : Intégration par parties. 31-05-09 à 12:21

Ah voilà Bah pour moi c'est juste ..

Posté par
Titou59re : Intégration par parties. 31-05-09 à 12:23

En fait je dois intégrer tf(t) et je connais la primitive de f(t) qui est F(t), c'est pour ça que dans l'ipp je sépare t et f(t)...

J4ai regardé, ça, se rapproche sauf que je "connais" l'intégrale de te-t²/2 qui est 1-e-t²/2

Posté par
cailloux Correcteurre : Intégration par parties. 31-05-09 à 12:28

Citation :
je "connais" l'intégrale de te-t²/2 qui est 1-e-t²/2


Disons qu' un primitive de te^{-\frac{t^2}{2}} est -e^{-\frac{t^2}{2}}

Posté par
Titou59re : Intégration par parties. 31-05-09 à 12:30

tu penses que je devrais refaire cette intégration en utilisant -e-t²/2 et non plus F(t) ?

Posté par
cailloux Correcteurre : Intégration par parties. 31-05-09 à 12:38

Tu as a calculer:

I(x)=\Bigint_0^xt^2e^{-\frac{t^2}{2}}\,\text{d}t

En posant:

u=t et v'=te^{-\frac{t^2}{2}}:

u'=1 et v=-e^{-\frac{t^2}{2}}

I(x)=\left[-te^{-\frac{t^2}{2}}\right]_0^x+\Bigint_0^xe^{-\frac{t^2}{2}}\,\text{d}t

I(x)=-xe^{-\frac{x^2}{2}}+\Bigint_0^xe^{-\frac{t^2}{2}}\,\text{d}t

Reste à passer à la limite quand x\to +\infty

On obtient 2\pi

Posté par
olive_68re : Intégration par parties. 31-05-09 à 12:41

Bah la tu te compliques la vie j'ai l'impréssion..

4$\rm te^{-\fr{t^2}{2}} à pour primitive 4$\rm -e^{-\fr{t^2}{2}}+K avec K \in \bb{R}

Ici 4$K=1

Donc 4$\blue \fbox{\Bigint_0^{+\infty} \ te^{-\fr{t^2}{2}} \ dt =\lim_{t \to +\infty} \ F(t)-F(0)=\lim_{t \to +\infty} \ -e^{-\fr{t^2}{2}}=...?}

Posté par
cailloux Correcteurre : Intégration par parties. 31-05-09 à 12:43

Au fait, il ne manquerait pas une racine dans ton énoncé ?

Au quel cas, on obtient \sqrt{\frac{\pi}{2}}

Posté par
Titou59re : Intégration par parties. 31-05-09 à 12:50

Non non pas de racines dans mon énoncé ! Je suis un peu perdu la je sais plus ou aller !

Posté par
cailloux Correcteurre : Intégration par parties. 31-05-09 à 12:50

On a donc I=\lim_{x\to +\infty}\Bigint_0^xe^{-\frac{t^2}{2}}\text{d}t

Or la fonction t\mapsto e^{-\frac{t^2}{2}} est paire.

Donc si \Bigint_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}\text{d}t=\sqrt{2\pi}

alors \Bigint_0^{+\infty}e^{-\frac{t^2}{2}},\text{d}t=\frac{\sqrt{2\pi}}{2}=\sqrt{\frac{\pi}{2}}

Posté par
olive_68re : Intégration par parties. 31-05-09 à 12:51

Lol ben je sais pas que penses tu de ce que je propose cailoux ??

Le truc c'est que sont rappel ne servirait à rien avec ma méthode..

Posté par
olive_68re : Intégration par parties. 31-05-09 à 12:53

Lol je crois que je vais rester là en tant que spectateur .. je crois ne pas avoir saisi quelque chose dans l'énoncé au regarde de ce que tu proposes ^^

Posté par
Titou59re : Intégration par parties. 31-05-09 à 12:53

Donc au lieu de ma deuxième intégration je vais avoir I = ... + /2 ?

Posté par
cailloux Correcteurre : Intégration par parties. 31-05-09 à 12:54

Citation :
On me rapelle que sur (1/2)e-x²/2.dx=1


Je ne pense pas; c' est plutôt

\Bigint_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}\,\text{d}t=1

non?

Posté par
Titou59re : Intégration par parties. 31-05-09 à 12:55

Oui c'est ca, c'est juste que je n'ai pas réussi à le mettre bien en forme sur le forum :s

Posté par
Titou59re : Intégration par parties. 31-05-09 à 12:56

Et que j'ai zappé la racine en effet !

Posté par
cailloux Correcteurre : Intégration par parties. 31-05-09 à 12:58

>>Olive

Titou59 a à calculer \Bigint_0^{+\infty}t^2e^{-\frac{t^2}{2}}\,\text{d}t pour avoir l' espérance de sa variable aléatoire.

et non pas \Bigint_0^{+\infty}te^{-\frac{t^2}{2}}\,\text{d}t

Posté par
olive_68re : Intégration par parties. 31-05-09 à 13:01

Ah ok, son post de \fbox{12:17} m'avais fait croire le contraire ^^

Posté par
Titou59re : Intégration par parties. 31-05-09 à 13:02

Exact, et par la suit on augmente le facteur de t pour calculer l'intégrale de t3e-²/2.

Et ainsi de suite avec t4, t5, surement qu'un évènement notable va se reproduire ou quelque chose du genre !

Posté par
cailloux Correcteurre : Intégration par parties. 31-05-09 à 13:09

La suite de ton énoncé ?

Citation :
surement qu'un évènement notable va se reproduire ou quelque chose du genre !


Probable...

Posté par
Titou59re : Intégration par parties. 31-05-09 à 13:11

Je me met dedans et je poste dès que j'ai du nouveau !

Posté par
Titou59re : Intégration par parties. 31-05-09 à 13:43

Je développe donc comme toi mais arrivé à :

lim A+  0A e-t²/2.dt

La je bloque et je ne comprends pas comment tu fais apparaitre le 1/2

Posté par
cailloux Correcteurre : Intégration par parties. 31-05-09 à 13:59

Avec la parité de la fonction t\mapsto e^{-\frac{t^2}{2}}:

\Bigint_0^{+\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}\,\text{d}t=\frac{1}{2}\bigint_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}\,\text{d}t=\frac{\sqrt{2\pi}}{2}=\sqrt{\frac{\pi}{2}}

Autrement dit, on a \lim_{x\to +\infty}\Bigint_0^xe^{-\frac{t^2}{2}}\,\text{d}t=\sqrt{\frac{\pi}{2}}

Posté par
Titou59re : Intégration par parties. 31-05-09 à 14:01

Cailloux, faut il juste aboutir a I = (/2) ? Auqel cas l'indiaction de l'intégrale sur ne servirait pas ?

Oui ensuite je dois intégrer t3e-t²/2...

Posté par
Titou59re : Intégration par parties. 31-05-09 à 14:03

A oui ! D'accord je viens de voir le truc !

Dans l'équation du départ je sors le 1/(2) pour connaitre la valeure de l'intégrale ! Merci beaucoup pour ce gros coup de pouce !

Posté par
cailloux Correcteurre : Intégration par parties. 31-05-09 à 14:04

Pour la suite, en posant I_n=\Bigint_0^{+\infty}t^ne^{-\frac{t^2}{2}}\,\text{d}t

et toujours avec une IPP, tu dois pouvoir prouver que:

I_{n+2}=(n+1)I_n

Puis trouver I_n en fonction de n en distinguant les cas n pair ou impair

Posté par
Titou59re : Intégration par parties. 31-05-09 à 14:05

Je dois juste calculer pour t3 pour le moment, rien de plus demandé ! Je pense que ça interviens pour la suite de l'exercice peut être !

Posté par
cailloux Correcteurre : Intégration par parties. 31-05-09 à 14:11

Oui, alors fait le calcul pour n=3

Posté par
olive_68re : Intégration par parties. 31-05-09 à 14:30

BAAAAAAAAAAAAAAAAAMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE

Qui est-ce qui a retrouvé sa convocation pour le bac ??!!!??!!

Posté par
Titou59re : Intégration par parties. 31-05-09 à 14:38

Cailloux, pour calculer simplement pour t3 avec une intégration par partie, tu me conseil quoi comme u et quoi comme v' au départ de l'ipp ?

Posté par
cailloux Correcteurre : Intégration par parties. 31-05-09 à 14:39

Bien content pour toi Olive

Mais bon, tu dois être un peu brouillon non?

Posté par
olive_68re : Intégration par parties. 31-05-09 à 14:42

Citation :
Mais bon, tu dois être un peu brouillon non?

\to Tu n'imagines pas à quel point .. Je perd très souvent ce que j'ai..

Posté par
cailloux Correcteurre : Intégration par parties. 31-05-09 à 14:42

>> Titou

Tu fais exactement pareil qu' avant:

u=t^2 et v'=te^{-t^2}

Posté par
cailloux Correcteurre : Intégration par parties. 31-05-09 à 14:43

zut v'=te^{-\frac{t^2}{2}}

Posté par
Titou59re : Intégration par parties. 31-05-09 à 14:47

Et je trouve bien 2 à la fin ?

Posté par
cailloux Correcteurre : Intégration par parties. 31-05-09 à 14:47

Voui!

Posté par
Titou59re : Intégration par parties. 31-05-09 à 14:49

J'ai I = [-t²e-t²/2]0+inf + 2 0+infte-t²/2.dt

2[-e-t²/2]0+inf = 2e0 = 2

Posté par
cailloux Correcteurre : Intégration par parties. 31-05-09 à 14:54

Toutafé

Posté par
Titou59re : Intégration par parties. 31-05-09 à 14:55

Merci alors ! Mais je sens que de nouveaux rebondissements dans cet exercice vont venir perturber mes révisions !

Posté par
cailloux Correcteurre : Intégration par parties. 31-05-09 à 14:59

Meuh non!! caclule I_4

Posté par
Titou59re : Intégration par parties. 31-05-09 à 15:01

C'est bon je devais trouver (T) donc j'vais fait la racine carré de E(T²)-E²(T) soit racine carrée de 2-(/2) qui vaut environ 0,6551 !

Posté par
Titou59re : Intégration par parties. 31-05-09 à 15:05

En fait c'est plutôt des probabilités ! Si tu veux bien continuer à m'aider je continue ici, sinon je bascule sur l'autre forum ?

Posté par
cailloux Correcteurre : Intégration par parties. 31-05-09 à 15:09

Je découvre qu' il est question de loi de probabilité

Ton énoncé n' en fait pas mention...

Posté par
Titou59re : Intégration par parties. 31-05-09 à 15:10

On applique T qui est une durée de vie à un circuit électrique, et on demande la probabilité qu'il continue de fonctionner pendant 2 ans sachant qu'il a déjà fonctionné 1 an.

J'ai traduit ça par p(T3/T1) = (p(T3T1)) / p(T1)

p(T3) / p(T1)

C'est la bonne voie ?

Posté par
Titou59re : Intégration par parties. 31-05-09 à 15:11

Oui en effet cela arrive par la suite et je ne pensais pas mêler toutes ces intégrations à cette probabilité, mais pour éviter de tout mélanger j'ai gardé le même topic ! :S

Posté par
cailloux Correcteurre : Intégration par parties. 31-05-09 à 15:12

Très juste!

Posté par
Titou59re : Intégration par parties. 31-05-09 à 15:18

Pour simplifier, je peux prendre p(T3)=1-p(T3) et p(T1)=1-p(T1) ?

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