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intégration par parties (revision)

Posté par bartblac (invité) 16-01-05 à 21:42

Bonsoir

je ne parviens pas à refaire un exercice dont voila l'ennoncés et la corection que j'ai (je ne trouve que la moitié du resultat final)

j=\int_e^{4}xlnxdx

je pose u = lnx ; u'=\frac{1}{x}
et v'=x ; v= \frac{x^2}{2}

la corection que j ai est

j=[\frac{x^2}{2}lnx]_e^4-\int_e^4\frac{1}{x}.\frac{x^2}{2}dx=\frac{16}{2}ln4-\frac{e^2}{2}lne-\frac{1}{2}\int_e^4xdx

=8ln4-4-\frac{e^2}{4}

j ai peut être mal recopié ou il me manque une ligne intermediaire pour comprendre

merci (mon exam est mardi)

Posté par
Nightmarere : intégration par parties (revision) 16-01-05 à 21:54

Bonsoir

L'IPP nous dis :

\Bigint u'.v=[u.v]-\Bigint u.v'

Donc ici , en ayant :
v(x)=ln(x)\Longrightarrow v'(x)=\frac{1}{x}
et
u'(x)=x\Longrightarrow u(x)=\frac{1}{2}x^{2}

On a alors :
4$\Bigint xln(x)dx=\underb{\[\frac{1}{2}x^{2}.ln(x)\]}_{u.v}-\Bigint \underb{\frac{1}{x}\times \frac{x^{2}}{2}dx}_{u.v'}

Compris ?


Jord

Posté par bartblac (invité)re : intégration par parties (revision) 16-01-05 à 22:13

pour la premiere partie j ai comprit je trouve

integration de u.v
\frac{16}{2}ln4-\frac{e^2}{2}-[\frac{x^2}{2}\frac{1}{x}]_e^4

quand je calcul tout je trouve

8ln4-\frac{e^2}{2}-(\frac{16}{2}.\frac{1}{4})-(\frac{e^2}{2}.\frac{1}{e})

au final j obtien

8ln4-\frac{e^2}{2}-2+\frac{e^2}{2e}

ce qui est relativementloin du resultat attendu

Posté par
Nightmarere : intégration par parties (revision) 16-01-05 à 22:20

Re

Le probléme est que tu as oublier d'intégrer \frac{1}{x}\times\frac{x^{2}}{2} . Tu l'as directement sorti de l'intégrale comme si de rien était


Jord

Posté par bartblac (invité)re : intégration par parties (revision) 16-01-05 à 22:42

donc je pose la deuxiem integrale

\int_e^4\frac{x^2}{2}.\frac{1}{x}dx=[\frac{1}{x}x]_e^4-\int_e^4lnx.x dx

et j'obtiens 4-(\frac{1}{e}.e)
que dois je faire aprés?

Posté par
Nightmarere : intégration par parties (revision) 16-01-05 à 23:11

Oula oula , je ne comprends plus ce que tu fais la ...

Tu te compliques un peu la vie

Je reprends :

\begin{tabular}4$\displaystyle\Bigint_{\mathrm{e}}^{4} x.\mathrm{ln}(x)dx&=&\[\frac{1}{2}x^{2}.\mathrm{ln}(x)\]_{\mathrm{e}}^{4}-\Bigint_{\mathrm{e}}^{4} \frac{1}{x}\times \frac{x^{2}}{2}dx\\&=&\frac{1}{2}\times4^{2}.\mathrm{ln}(4)-\frac{1}{2}\mathrm{e}^{2}.\mathrm{ln}(\mathrm{e})-\Bigint_{\mathrm{e}}^{4} \frac{1}{2}xdx\\&=&8.\mathrm{ln}(4)-\frac{1}{2}\mathrm{e}^{2}-\[\frac{1}{2}\times \frac{x^{2}}{2}\]_{\mathrm{e}}^{4}\\&=&8.\mathrm{ln}(4)-\frac{1}{2}\mathrm{e}^{2}-\(\frac{1}{4}4^{2}-\frac{1}{4}\mathrm{e}^{2}\)\\&=&8.\mathrm{ln}(4)-\frac{2}{4}\mathrm{e}^{2}-4+\frac{1}{4}\mathrm{e}^{2}\\&=&\fbox{8.\mathrm{ln}(4)-\frac{1}{4}\mathrm{e}^{2}-4}\end{tabular}


jord

Posté par bartblac (invité)re : intégration par parties (revision) 16-01-05 à 23:32

excusé moi je ne comprend pas pourquoi on obtien \frac{1}{2} au bout de la deuxiemme ligne

désolé je suis vraiment nul
mais je pense avoir compris le reste
encore merci pour votre aide

Posté par
Nightmarere : intégration par parties (revision) 16-01-05 à 23:35

Re

\frac{1}{x}\times\frac{x^{2}}{2}
nous donne :
\frac{1\times x\times x}{x\times2}
et en simplifiant par x :
\frac{x}{2}
soit :
\frac{1}{2}x


jord

Posté par bartblac (invité)re : intégration par parties (revision) 16-01-05 à 23:38

Merci beaucoup

Posté par
Nightmarere : intégration par parties (revision) 16-01-05 à 23:39


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