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Niveau Maths sup
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Intégration sur un segment

Posté par
Albert236
18-06-22 à 16:57

Bonjour,
On me propose l'exercice suivant :
On considère la fonction f définie par : f(x) = \int_{x}^{2x}{\frac{1}{ln(t)}dt}
1) Montrer que la fonction f est définie sur D=]0 ; \frac{1}{2}[ U ]1 ; +\infty [
2) Montrer que f est dérivable sur D et calculer f'
3) Montrer que : \forall x \in D, \frac{x}{ln(2x)} \leq f(x) \leq \frac{x}{ln(x)}
4) En déduire les limites de f en 0 et en +\infty

1)Pour la question 1 j'ai dit que la fonction x -> \frac{1}{ln(x)} est définie sur R+*\{1} car ln est définie sur R+* et s'annule en 1.
Ainsi, f est définie sur D comme intégrale d'une fonction définie sur D

2) Pour la question 2 j'ai dit que f est dérivable sur D comme intégrale d'une fonction définie sur D.
Notons F une primitive de x -> \frac{1}{ln(t)}.
Alors  \forall x \in D, f(x) = F(2x)-F(x)
 \\ 
 \\ D'où  \forall x \in D, f'(x)= 2F'(2x)-F'(x)=\frac{2}{ln(2x)}-\frac{1}{ln(x)}

3) Je suis bloqué à la question 3, pouvez vous m'aidez svp

4)D'après 3), la limite de f en 0 vaut 0 par théorème d'encadrement
De même, la limite de f en +\infty vaut +\infty par croissance comparée et théorème d'encadrement

Posté par
verdurin
re : Intégration sur un segment 18-06-22 à 17:07

Bonsoir,
pour la question 3 il suffit d'encadrer 1/ln(t) sur l'intervalle d'intégration.

Je suis un peu inquiet devant ta réponse à la question 1.
On te donne le résultat à trouver et tu en donnes un autre

Posté par
Albert236
re : Intégration sur un segment 19-06-22 à 21:34

Bonjour et merci de votre réponse, j'ai rectifier la question 1
Pour la question 3 est-ce une bonne idée d'écrire :
\frac{1}{\ln (2x)} \leq \frac{1}{\ln (t)} \leq \frac{1}{\ln (x)}
Merci de votre aide

Posté par
Albert236
re : Intégration sur un segment 19-06-22 à 21:35

rectifié*

Posté par
verdurin
re : Intégration sur un segment 19-06-22 à 21:37

C'est une bonne idée d'écrire \frac{1}{\ln (2x)} \leq \frac{1}{\ln (t)} \leq \frac{1}{\ln (x)}

Posté par
Albert236
re : Intégration sur un segment 19-06-22 à 22:18

Merci de votre réponse



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