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Intérêt de la géométrie affine

Posté par
Bastien51
28-05-20 à 17:31

Bonjour,

Quel est l'intérêt de la géométrie affine par rapport à la géométrie euclidienne ?

J'ai bien compris qu'un espace affine était composé de points mais sans origine fixée et que les notions de distances et d'angles étaient inconnus.

Mais alors quel est l'intérêt par rapport à la géométrie euclidienne où l'on peut travailler avec des angles et des distances ?

Posté par
GBZM
re : Intérêt de la géométrie affine 28-05-20 à 17:40

Bonjour,

La géométrie affine s'occupe des transformations affines, et il y a beaucoup plus de transformations affines que d'isométries (les transformations de la géométrie euclidienne). Par exemple, les dilatations et les transvections.
Un outil fondamental de la géométrie affine est la notion de barycentre.  Il s'agit d'une notion importante, qu'on retrouve par exemple dans tous les problèmes de convexité.

Un exemple : les coniques propres. Du point de vue affine, il y a seulement trois coniques propres à changement de coordonnées près :
y=x^2
x^2+y^2=1
xy=1

Posté par
coa347
re : Intérêt de la géométrie affine 29-05-20 à 11:12

Bonjour,

Il me semble qu'on ne peut pas opposer la géométrie euclidienne et la géométrie affine. Il existe la géométrie affine euclidienne, qui est la géométrie affine attachée à un espace vectoriel euclidien.

Oui je vois ce que tu veux dire : quel est l'intérêt de la géométrie affine non euclidienne par rapport à la géométrie euclidienne ? Cela revient à se demander quel est l'intérêt de la géométrie non euclidienne par rapport à la géométrie euclidienne ?

Je n'ai pas la réponse, peut-être que quelqu'un l'aura : peut-on toujours définir une norme ou un produit scalaire euclidien sur un espace vectoriel ? Et est-elle intéressante ? En tout cas, dans notre espace usuel, cela semble être le cas, même s'il est fictif ou simplificateur.
D'autre part, certains théorèmes de géométrie affine n'ont peut-être pas besoin de norme ? Ceux relatifs aux barycentres ...

Posté par
GBZM
re : Intérêt de la géométrie affine 29-05-20 à 11:19

Étant donné une base quelconque d'un espace vectoriel réel, on peut toujours décréter qu'elle est orthonormée. Ça nous fait un produit scalaire sur l'espace.

Par ailleurs, parler de "géométrie non-euclidienne" peut prêter à confusion : on peut penser à la géométrie hyperbolique, ou sphérique ...
Je ne caractériserais pas la géométrie affine comme "non-euclidienne".

Posté par
Bastien51
re : Intérêt de la géométrie affine 02-06-20 à 11:30

Merci pour vos réponses.

Je vais rajouter une information que je viens de trouver et dont j'ignorais l'existence : le programme d'Erlangen qui classe les géométries.
Donc si j'ai bien compris, la géométrie euclidienne est une géométrie affine avec moins de possibilité.  

Posté par
GBZM
re : Intérêt de la géométrie affine 02-06-20 à 12:06

Bastien51 @ 02-06-2020 à 11:30


Donc si j'ai bien compris, la géométrie euclidienne est une géométrie affine avec moins de possibilité.  


Non. La géométrie euclidienne a un groupe de transformations plus petit, et par conséquent plus d'invariants (longueurs, angles).
Encore une fois, tu peux voir les versions affines et euclidiennes de la classification des coniques. Du côté affine, on n'a que trois coniques à transformations affines près ; on peut se dire que c'est d'une simplicité bienvenue. Du côté euclidien, on a une richesse de notions intéressantes et utiles : foyer, directrice, excentricité ...

Posté par
coa347
re : Intérêt de la géométrie affine 02-06-20 à 14:52

Bonjour,

Ah je n'ai pas compris que géométrie euclidienne était sous-entendue affine euclidienne (je pensais vectorielle euclidienne). Oubliez donc mon message plus haut.



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