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Intérêt de la notion de tribu

Posté par
Toulaa
05-03-23 à 10:40

Bonjour, je vous écris aujourd'hui concernant une difficulté que je rencontre en proba.
J'ai du mal à comprendre en ce qui concerne les ensembles infinis non dénombrables en quoi est-ce que la notion de tribu permet de définir une probabilité sur l'espace probabilisable. Je vous propose alors d'essayer de me donner jn tribu concernant le problème suivant :

Envoi d'une fléchette sur une cible circulaire de 30 cm de diamètre. L'expérience consiste à décrire l'impact de la flèche dans un repère orthonormé du centre de la cible, et on pose Ω = {(x, y),(x^2+y^2)^1/2  ≤ 15}.

Merci

Posté par
GBZM
re : Intérêt de la notion de tribu 05-03-23 à 10:56

Bonjour,
La tribu des boréliens contenus dans \Omega, par exemple.

Posté par
Toulaa
re : Intérêt de la notion de tribu 05-03-23 à 11:28

Avant toute chose merci pour votre réponse. Cette tribu n'est pas à notre programme cependant je me suis renseigné un peu. Une tribu est sensé modéliser l'information que nous donne l'expérience mais je n'ai pas l'impression que c'est le cas ici. Je pense que le problème n'est pas assez détaillé.

Si on ajoute un système de point :
-10points si on est inférieur ou égal à 2cm
-3points si on est entre supérieure à 2 et inférieur ou égal à 15
-0point sinon

Pourrez-vous vous me donner une tribu convenable dans ce cas là.

Je tiens à vous redire que ce que je ne comprends pas c'est en quoi est-ce que la notion de tribu permet de def une proba sur les espaces infini non dénombrables. C'est pour cela que je cherche un exemple concret qui l'illustre.

Si vous pensez pouvoir me l'expliquer d'une autre manière n'hésitez pas.

Merci

Posté par
GBZM
re : Intérêt de la notion de tribu 05-03-23 à 12:11

La tribu des boréliens est la tribu engendrée par les ouverts de \Omega. La tribu de Lebesgue est la complétée de la tribu borélienne. C'est habituellement avec la tribu de Lebesgue qu'on travaille quand on a un univers qui est une partie de \mathbb R^n.
La mesure de probabilité est définie sur la tribu. C'est elle qui compte pour modéliser la situation.
Ce qui manque dans ton histoire de cible, c'est surtout la mesure de probabilité.  Et puis après, tu peux avoir une variable aléatoire, par exemple le nombre de points attribuée à tel emplacement du plan.

Pourquoi une tribu plutôt que simplement l'ensemble de toutes les parties ? Parce que la condition de \sigma-additivité fait que l'on ne peut pas tout mesurer. L'existence de parties non mesurables se démontre avec l'axiome du choix (voir sur Wikipedia  "Ensemble de Vitali" .

Posté par
Toulaa
re : Intérêt de la notion de tribu 05-03-23 à 14:33

Merci pour votre réponse. Ça c'est beaucoup éclairé

Posté par
GBZM
re : Intérêt de la notion de tribu 05-03-23 à 14:37

Avec plaisir.



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