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Intérieur, adhérence intersection

Posté par
bouri 10-02-21 à 10:41

Bonjour à tous,
Je dois montrer que \mathring{\overline{A\cap B}}= \mathring{A} \cap \mathring{B}
Je voulais procéder par double inclusion :

- \mathring{A} \cap \mathring{B} est un ouvert par intersection de 2 ouverts et par définition \mathring{A} \subset A , \mathring{B} \subset B donc \mathring{A} \cap \mathring{B}  \subset A \cap B \subset \overline{A \cap B}.
Comme \mathring{\overline{A\cap B}} est le plus grand ouvert inclus dans  {\overline{A\cap B} on a \mathring{A} \cap \mathring{B}  \subset \mathring{\overline{A\cap B}}

- Pour l'autre inclusion je ne sais pas vraiment comment faire.... prendre x \in \mathring{\overline{A\cap B}} alors il existe r>0 tel que B(x,r) \subset \overline{A\cap B}
mais je ne vois pas comment continuer

Merci d'avance pour vos réponses !

Posté par
lionel52re : Intérieur, adhérence intersection 10-02-21 à 11:12

L'autre sens est-il vrai?

Je prends A = Q et B = R
Alors int(A) = Ensemble vide

Mais Int(Adh(Q)) = R

Posté par
etniopalre : Intérieur, adhérence intersection 10-02-21 à 14:56

C'est   Intérieur(A B )  =  Intérieur(A)   Intérieur(B)   qui est valable pour tout (A , B) .

Posté par
bourire : Intérieur, adhérence intersection 10-02-21 à 16:44

Je vous remercie pour vos réponses (rapides!)

Bonne après-midi


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