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intérieur d'une boule fermée
Bonjour,
Je cherche à démontrer que si Bf(a,r) est une boule fermée centrée en a et de rayon r alors son intérieur est Bo(a,r) la boule ouverte.
* Bo(a,r) est un ouvert inclus dans Bf(a,r) donc comme l'intérieur est le plus grand ouvert inclus dans l'ensemble, Bo(a,r) est incluse dans l'intérieur de Bf(a,r)
* Pour l'autre inclusion :
Si a=0, soit x dans l'intérieur de Bf(0,r) donc il existe e tel que B(x,e) 
Bf(0,r)
Et donc
et donc
On a donc
Mais je n'arrive pas à faire un raisonnement similaire si a
0
Merci d'avance pour votre aide
Bonne journée
salut
si a n'est pas nul alors la translation x --> x - a envoie la boule B(a, r) sur la boule B(0, r)
ensuite un dessin permet de ne pas distinguer 0 de tout autre valeur.
enfin tu ne précises pas dans quel espace tu travailles
sinon il suffit de considérer la demi-droite [a, x) qui coupe Bf(a, r) en y et de considérer e = ||x - y|| qui n'est pas nul par hypothèse sur x ...
Bonjour
Il est essentiel de dire dans quel espace on travaille.
Regarde ce qui se passe pour si l'espace est
muni de la distance usuelle
Je travaille sur un espace vectoriel normé de dimension finie (quelconque)
Je n'arrive pas à écrire rigoureusement que la translation entre les 2 boules ne change pas le résultat
La translation est une translation car continue, bijective et dont la réciproque
est continue
Et ensuite, on peut dire que l'ensemble des ouverts contenant x est égal à l'ensemble des ouverts contenant x-a ?
Utiliser que l'intérieur est le plus grand ouvert contenu dans un l'ensemble ?
La translation
Et ensuite, on peut dire que l'ensemble des ouverts contenant x est égal à l'ensemble des ouverts contenant x-a ? surement pas
mais que l'image d'un ouvert (resp. fermé) par un homéomorphisme est un ouvert (resp. fermé) ... et translater tout ton travail en a = 0 en ton travail en a = a ...
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