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intérieur (espaces métriques)

Posté par
mousse42
14-05-20 à 11:25

Bonjour
J'ai trouvé une série d'exo sans correction sur le net. Je bloque sur une question :

Enoncé

Soit (X,\mathcal{T}) un espace topologique. Et (A_i)_{i\in I} une famille de parties non vides de X:
Comparer :

\bigcup_{i\in I}A_i \quad \bigcup_{i\in I}\overset{\circ}{A_i}\quad \overbrace{\bigcup_{i\in I}A_i}^{\circ}  


J'ai montré les inclusions suivantes

 \bigcup_{i\in I}\overset{\circ}{A_i}\subset\bigcup_{i\in I}A_i \qquad \overbrace{\bigcup_{i\in I}A_i}^{\circ} \subset \bigcup_{i\in I}A_i\qquad \bigcup_{i\in I}\overset{\circ}{A_i}\subset \overbrace{\bigcup_{i\in I}A_i}^{\circ}

Il me reste :

 \bigcup_{i\in I}\overset{\circ}{A_i}\supset \overbrace{\bigcup_{i\in I}A_i}^{\circ}

Et j'ai l'impression qu'on n'a pas cette inclusion, le problème c'est que je n'arrive pas à la réfuter à l'aide d'un contre-exemple.

Posté par
jarod128
re : intérieur (espaces métriques) 14-05-20 à 11:32

Bonjour,
[1;2] et [2;3] que dire de {2}?

Posté par
Kernelpanic
re : intérieur (espaces métriques) 14-05-20 à 11:32

Bonjour mousse42,

on peut penser à [1,2] et [2,3], ça fournit un bon contre-exemple !

Posté par
Kernelpanic
re : intérieur (espaces métriques) 14-05-20 à 11:33

Bon, dépassé par jarod128 que je salue

Bonne journée

Posté par
GBZM
re : intérieur (espaces métriques) 14-05-20 à 11:34

On peut même trouver simplement des A_i dans \R tels que

 \bigcup_{i\in I}\overset{\circ}{A_i}=\emptyset et \overbrace{\bigcup_{i\in I}A_i}^{\circ}= \R

Ça te suffit comme indication ?

Posté par
mousse42
re : intérieur (espaces métriques) 14-05-20 à 11:38

une pluie de réponses, c'est top!!



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