Bonjour
ceci ne te satisfait pas ?

Bonjour Lafol,

Je l'avais parcouru, mais "ça ne m'a pas parlé" plus que ça.
C'est comme pour Lagrange, j'ai compris le formel à partir d'un exemple numérique trouvé sur youtube. Dès que je l'ai compris, tout le formel s'en est découlé et ça m'a semblé plus limpide.
Mais là, non, franchement, je ne m'en sors pas avec ça, d'où ma recherche pour une exemple simple.

Mettons que je parte de points connus (tu m'étonnes, car sans cela on est mal barrés ...)
Est-ce que je dois faire une interpolation de Lagrange, trouvé mon polynômes d'interpolation, et ensuite dériver ce polynôme en cahcun des points ?

Ou est-ce totalement déconnecté de Lagrange ?

cherche un polynôme de degré 3 tel que P(0) = 1, P'(0)=0, P(1)=2 et P'(1)=1 pour te faire une idée

Mouai, et c'et devant mes yeux :

fais le d'une part de manière "naïve" : , écrire le système d'équations en a,b,c,d qui traduit les conditions
puis reprends la méthode avec les carrés des polynômes de Lagrange décrite dans le wiki pour voir comment elle s'applique déjà avec n=1.

Déjà, il y a ça qui répond aux conditions que tu mas données :

il n'y a même que ça
c'est l'unique polynôme de degré inférieur ou égal à 3 qui satisfait les quatre conditions.

Lafol, j'attaque avec cela à présent ?

Théorème de l'unisolvance sûrement ....

quatre coeff à déterminer, quatre équations linéaires pour les déterminer, la plupart du temps, une unique solution au système

sans compter que dans ce cas précis, si on avait un deuxième polynôme Q qui vérifie les mêmes conditions, la différence P-Q s'annulerait en 0 et en 1 et aurait une dérivée nulle en 0 et en 1 : autrement dit 0 et 1 sont deux racines doubles de P-Q, qui est de degré inférieur ou égal à 3, comme P et Q, et donc ne peut avoir plus de 3 racines sans être identiquement nul.

Ok, merci.

Bon, restons calme.

Si je ne m'abuse, pour l'instant je n'ai en ma possession que les 2 points

Je recherche un polynôme interpolateur de degré 3, c'est bien cela ?

Je suis paumé ....

Je ne comprends pas.

J'ai pour l'instant connaissance que de mes 2 points

Si je pars sur la méthode de l'interpolation de Lagrange, à savoir l'utilisation de cela :



puis de cela :



J'en arrive à :



On est loin de "notre" trouvé plus haut.

Si je pars du lien Wiki, penses-tu que je dois retomber sur mes pattes ?

Bon, je ne sais pas où je vais mais j'y vais ...

En considérant mon en vers ci-dessus et sur la figure ci-dessous en considérant

et si à présent je pars sur :



avec le méthode présentée dans le wikipédia mentionné ci-dessus, j'en arrive à :



qui est ma courbe en bleu, est-ce que c'est ce qui est le ?

Il "intercepte" bien aussi les 2 points, mais je n'ai nullement utilisé les dérivées ...

Bon, je ne sais pas où je vais mais j'y vais ...

En considérant mon en vers ci-dessus et sur la figure ci-dessous en considérant

et si à présent je pars sur :



avec le méthode présentée dans le wikipédia mentionné ci-dessus, j'en arrive à :



qui est ma courbe en bleu, est-ce que c'est ce qui est le ?

Il "intercepte" bien aussi les 2 points, mais je n'ai nullement utilisé les dérivées ...

c'est bien ça le souci : depuis le départ, tu ne cherches pas à t'occuper des dérivées, pour ça que Lagrange, qui n'en tient pas comte, te donne une droite...

Oui, je commence à (entre)voir, mais mon polynôme en bleu, est-ce de l'Hermite ou pas du tout ?

Mais pour l'exercice qui t'intéresse, tu n'as pas besoin de tout ça : juste d'écrire le système comme tu l'as fait pour trouver ....
tu cherches trop à aller bien au-delà de où veulent t'emmener les rédacteurs de tes polys, j'ai l'impression. On te dit "Lagrange" et "Hermite" pour ta culture générale, pas pour que tu ailles chercher toute la théorie là dessus.

celui d'Hermite, c'est le rouge

Lagrange,

j'ai ça :

tex]L_j(x)=\underset{\underset{i\ne j}{i=0}}{\overset{n}{\Prod}}\frac{x-x_i}{x_j-x_i}[/tex]

et ça :



L'Hermite,

J'ai ça :

(<== et là, je ne comprends pas pourquoi on prend les carré)


et après je ne sais pas :

Je reprends.

Lagrange,

j'ai ça :



et ça :



L'Hermite,

J'ai ça :

(<== et là, je ne comprends pas pourquoi on prend les carré)


et après je ne sais pas :

Et pour rajouter à ma confusion, il est dit que le polynôme d'interpolation de l'Hermite en point est de degré ....

ça y est, je l'ai trouvé et je retombe sur mes pattes !



avec :



et



en conservant :



Il me reste(rait) donc à comprendre comment sont bâtis ces 2 "trucs" que sont :



Spline cubique ?

les q_j ne sont que des étapes pour arriver au polynôme d'Hermite, mais tu n'as absolument pas besoin de cette usine à gaz ! puisque tu as trouvé tout seul en résolvant un système linéaire ton polynôme
et dans l'exercice dont tu m'avais parlé, on te demande juste d'écrire le même système linéaire, mais au lieu de 0 et 1, tu as x_0, x_1 etc, et au lieu de valeurs particulières pour les images et nombres dérivés tu as des valeurs quelconques, mais c'est exactement le même travail

dans la première question tu as juste à dire que tu as 2n + 2 contraintes, qui te permettront de déterminer 2n+2 coefficients, donc un polynôme de degré au plus égal à 2n+1

On est donc dans ton exemple avec :





et









Et donc :

... et pour ton info, j'ai fini par regarder le corrigé de l'exercice en question .... que je n'ai toujours pas compris.

Mais je vais m'y repencher.

et moi je ne comprends pas ce que tu ne comprends pas ? ils ont juste écrit matriciellement le système

Quand c'est dit, c'est tout de suite plus simple.
Quand est-ce qu'en télé-enseignement ils comprendront cette évidence ...

LAfol, 2 questions (et demie) stp :

1°)- Est-ce que tout cela a à voir avec les dites "splines cubiques" ?
Si oui, est-ce que cla me dépasse totalement ?

2°)- Est-ce que si je prends 3 points (avec leurs coordonnées connues), et les (3) coefficients directeurs en chacun de ces 3 points, donc 6 "contraintes), je peux par la méthodes ci-dessus faite de , je peux trouver un (LE ?) polynôme du père Hermite ?

Merci

pour la deuxième question, calcule la valeur et le nombre dérivé en les x_i des tes polynômes H et H tilde : ça devrait t'aider à te convaincre que la combinaison linéaire que tu as écrite plus haut vérifie les bonnes conditions, quelque soient le nombre de points choisis
Dans ton exemple tu as 3 points, donc 6 contraintes, donc un polynôme de degré maxi 5

pour la première question les splines cubiques, c'est pas justement des courbes constituées de morceaux de cubiques assemblés pour donner une courbe continue et "lisse" ? Si oui, on a les valeurs et les pentes en chaque point, et entre deux points, on a donc 4 contraintes qui permettent de calculer un morceau de cubique : on cherche des tas de polynômes de Hermite de degré 3, en ne prenant que deux points voisins à chaque fois.

Lafol,

je ne comprends pas cela :

j'aurais dû changer d'indice, pour ne pas emmêler les choses avec l'indice de sommation

calcule et : tu devrais trouver un résultat différent selon que i = j ou non

ça te permettra de calculer et

?

commence par H'_i(x) puis remplaces x par x_j
j'ai d'ailleurs oublié les tildes : il faudra faire pareil avec les H tildes ensuite

Bonjour Lafol,

Je suis toujours au combat (tu verras, je viens de poster un topic qui répond (en partie) aux questions que je t'ai envoyées par mail, mais qui m'en soulèvent d'autres ...)

Bon, je vais essayer de comprendre ce que tu veux là me faire toucher du doigt.

Ici ==> Interpellation de Hermite ou réalité ?

Lafol,


J'ai peur de ne plus rien comprendre.

J'ai cela :



avec :



et



ou bien  j'ai cela :



avec :



et

première version
mais je te proposais de calculer tout ça en remplaçant , et pas , par ....

C'est cela que tu me demandes de dériver ?



Pour calculer ensuite

C'est bien cela ?

Ne tiens pas compte de mon dernier post.

Donc on regarde cela : _{(je ne sais pas pourquoi mais allons voir)}



Mais qu'est-ce que ?

est l'abscisse du point considéré, mais ?

un autre des n (ou n+1) points de départ