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Intersection de droites et de plans
Bonjour, j'ai un exercice à faire qui me pose soucis...
Soit P le plan d'équation 4x + 3y - 2z + 3 =0
Les droites (d1) et (d2) sont définies par une représentation paramétrique donnée ci-dessous :
(d1) : x = 1 - t
y = 2 +2t
z = -1 + t
avec t 
(d2) : x = t
y = 3 + t
z = 3 + 2t
avec t
1. Le plan P et la droite (d1) sont-ils sécants ?
2. Déterminer l'intersection du plan P et de la droite (d2).
1.Soit n un vecteur normal de P : n(4 3 -2)
Soit u un vecteur directeur de (d1)
u(-1 2 1)
n.u = 4*(-1)+3*2 + 1*(-2) = 0
u et n sont orthogonaux.
2. Je ne vois pas comment le faire
Salut,
1 :
u et n sont orthogonaux.
2 : On cherche x, y et z tels que : x = t ; y = 3 + t ; z = 3 + 2t et 4x + 3y - 2z + 3 =0.
Suffit de mettre x = t ; y = 3 + t ; z = 3 + 2t dans 4x + 3y - 2z + 3 =0 pour obtenir (ou pas ? ) une valeur de t ...
Bonjour,
u et n sont orthogonaux.
Oui, et donc ?
Tu ne réponds pas à la question là... Le plan P et la droite (d1) sont-ils sécants ou non ?
2) Tu as (P)
(d2)
4x+3y-2z+3 = 0
x=t
y = 3+t
z= 3+2t
Tu as donc un système d'équations à résoudre.
Tu trouves la valeur de t, puis tu auras les coordonnées du point d'intersection.
Je le comprends pas alors bon... A un moment y'a marqué deux vecteurs orthogonaux sont perpendiculaires et à un moment y'a marqué que si deux vecteurs sont orthogonaux alors si le point appartient au plan la droite est contenu dans le plan. Ou si A n'appartient pas au plan alors la droite est strictement parallèle au plan.
alors si le point appartient au plan la droite est contenu dans le plan. Ou si A n'appartient pas au plan alors la droite est strictement parallèle au plan.
Justement c'est ça qu'on attendait !!
Tu as montré que les vecteurs u et n sont orthogonaux alors le plan P et la droite (d2) sont soit parallèles, soit confondues !
A présent, je te laisse chercher si c'est "parallèles" ou "confondues", ça tu sais faire...
x = t
y = 3 + t
z = 3 + 2t
4t + 3(3+t) - 2(3+2t) + 3 = 0
4t + 9 + 3t -6 -4t + 3 = 0
3t + 6 = 0
t = -2
alors si le point appartient au plan la droite est contenu dans le plan. Ou si A n'appartient pas au plan alors la droite est strictement parallèle au plan.
Justement c'est ça qu'on attendait !!
Tu as montré que les vecteurs u et n sont orthogonaux alors le plan P et la droite (d2) sont soit parallèles, soit confondues !
A présent, je te laisse chercher si c'est "parallèles" ou "confondues", ça tu sais faire...
Oui, tu peux éventuellement t'arrêter à "Puisque les vecteurs u et n sont orthogonaux, le plan P et la droite (d1) ne sont donc pas sécants".
Après, les professeurs attendent quand même que tu puisses justifier complètement ta réponse !
S'ils ne sont pas sécants, alors ils sont soit strictement parallèles, soit la droite (d1) est contenue dans le P. Et un point de la droite (d1), en l'occurrence ici le point (1;2;-1) d'après la représentation paramétrique, permet de dire si cela est // ou bien confondue.
x = t
y = 3 + t
z = 3 + 2t
4t + 3(3+t) - 2(3+2t) + 3 = 0
4t + 9 + 3t -6 -4t + 3 = 0
3t + 6 = 0
t = -2
Oui, et donc ? Il faut terminer ton travail !!
Quel est alors le point d'intersection du plan P et de la droite (d2) ?
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