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Intersection de plans

Posté par
sgu35
09-08-20 à 17:46

Bonjour, j'ai une question à élucider :

Voici la propriété du livre :

Soient deux plans P : ax+by+cz+d=0, et P' : a'x+b'y+c'z+d'=0 avec (a,b,c) et (a',b',c')\ne (0,0,0)
Si (a,b,c,d) et (a',b',c',d') sont proportionnels alors P=P'; sinon P\cap P' = \varnothing

Et voici la démonstration :

Soit k\in \R* tel que :
\begin{cases}a'=ka \\ b'=kb \\ c'=kc  \\ \end{cases}
On a : ax+by+cz+d=0 \Leftrightarrow kax+kby+kcz+kd=0\Leftrightarrow a'x+b'y+c'z+kd=0
donc les deux plans ont un point commun si et seulement si d'=kd, c'est-à-dire que (a,b,c,d) et (a',b',c',d') sont proportionnels.

Le problème c'est que l'intersection de deux plans peut-être une droite...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Intersection de plans 09-08-20 à 17:57

Bonjour,
Tu as transcrit la propriété de manière incomplète.
Il y a un préalable avec la proportionnalité de (a,b,c) et (a',b',c').
Sinon le "soit k tel que ..." sortirait de nulle part.

Posté par
sgu35
re : Intersection de plans 09-08-20 à 18:01

Ok j'ai compris, il faut se référer à la propriété écrite juste avant :

Si (a,b,c) et (a',b',c') sont proportionnels, alors P et P' sont parallèles.

Et voici la démonstration :
Si (a,b,c) et (a',b',c') sont proportionnels, alors les équations aX+bY+cZ=0 et a'X+b'Y+c'Z=0 sont équivalentes, donc les vecteurs de P sont les vecteurs de P'. On en déduit P//P'

Posté par
sgu35
re : Intersection de plans 09-08-20 à 18:02

Citation :
Bonjour,
Tu as transcrit la propriété de manière incomplète.
Il y a un préalable avec la proportionnalité de (a,b,c) et (a',b',c').
Sinon le "soit k tel que ..." sortirait de nulle part.


Oui je viens de comprendre comme le dit mon message de 18h01

Posté par
etniopal
re : Intersection de plans 09-08-20 à 18:16

    Soient  P et P ' des plans  de 3 d'équations respectives  ax+ by + cz + d = 0 et   a'x+ b'y + c'z + d' = 0  .
Supposons qu'il existe  t   tel que (a' , b' , c' ) =  t.(a  , b , c)
Comme P et P' sont des plans  t est non nul .
     Si d ' = t.d  il est clair que  P = P '.
        Supposons d ' d   et montrons que   P P ' est  ide.  
        Si ce n'était pas le cas il existerait    (u , v , w)   3tel que      au+ bv + cw + d = 0 et   a'u+ b'v + c'w+ d' = 0  et on aurait    
0 =  t.(au+ bv + cw + d ) -   t.(au+ bv + cw) - d' donc  d' = t.d , ce qui n'est pas .
  

Posté par
sgu35
re : Intersection de plans 09-08-20 à 18:25

Citation :
Supposons d '  d   et montrons que   P P ' est  ide.

Ce serait plutôt :
Supposons d ' \ne t.d   et montrons que   P \cap P ' est  vide.

Posté par
etniopal
re : Intersection de plans 09-08-20 à 18:32

Oui



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