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intersection de sous-espaces et automorphismes

Posté par
jbsph 06-12-24 à 08:37

Bonjour, je ne comprends pas la correction d'un exercice.

L'exercice est le suivant: Trouvez les symétries axiales qui échangent deux droites sécantes du plan.

La correction se fait par analyse-synthèse. Au début de la partie analyse il est écrit soit une solution, comme s_{\Delta } est bijective: s_{\Delta }(D \cap D') = s_{\Delta }(D) \cap s_{\Delta}(D') = ... où D et D' sont les deux droites sécantes dont on cherche le groupe de symétrie.

Je ne comprends pas, si f est un automorphisme en dimension finie d'un ev V, et si E et F sont deux sev de V alors on a: f(E \cap F) =f(E) \cap f(F) ?? J'ai essayé de le prouver mais sans grand succés.

Quelqu'un a une idée ?

Posté par
Rintarore : intersection de sous-espaces et automorphismes 06-12-24 à 12:35

Bonjour jbsph,

nous n'avons pas besoin d'autant de structure sur nos ensembles et nous n'avons pas besoin non plus d'une application bijective.

Soient E, F des ensembles (non vides) et f : E \to F une application. Tu peux t'amuser à démontrer que f est injective si, et seulement si, pour tous sous-ensembles A,B \subset E, l'égalité f(A \cap B) = f(A) \cap f(B) est vérifiée.

Posté par
jbsphre : intersection de sous-espaces et automorphismes 06-12-24 à 15:02

Mais bien sûr ce sont les résultats de bases sur les applications.
Merci beaucoup pour ta réponse.

Posté par
Rintarore : intersection de sous-espaces et automorphismes 06-12-24 à 15:13

Je t'en prie


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