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Niveau terminale
Intersection des médianes d'un tétraèdre
Posté par Michellee
Bon soir, j'ai se DM a faire pour lundi et je bloque réellement dans la deuxieme et troisieme partie.
Voici l'exercice:
ABCD est un tétraèdre régulier de côté 1. I est le milieu de [AB] et D' est le centre de gravité du triangle ABC. On appelle médianes du tétraèdre ABCD les droites qui relient chaque sommet au centre de gravité de la face opposée.
1) On souhaite montrer que chaque médiane du tétraèdre est orthogonale à la face opposée.
a) Montrer que vecteurs DD' scalaire AB = 0 et que vecteur DD' scalaire BC = 0.
b) En déduire que la médiane (DD') est orthogonale au plan ABC.
c) Conclure pour les autres médianes.
2) On souhaite montrer que les médianes du tétraèdres sont sécantes.
a) Montrer que les médianes issues de C et de D sont sécantes.
On nomme G leur point d'intersection.
b) En nommant C' le centre de gravité du triangle ABD, montrer dans le plan (CDI) que vecteur C'D' = 1/3 de vecteur DC.
c) En déduire que vecteur GD' = 1/3 de vecteur DG puis que vecteur D'G = 1/4 de vecteur D'D.
d) Conclure un résultat pour les trois autres médianes.
3) a) Calculer les longueurs CI, CD' et DD'.
b) En déduire la longueur GA.
c) Montrer que G est le centre d'une sphère circonscrite au tétraèdre dont on précisera le rayon.
J'ai réussi a faire tout le 1 et le 2.b) mais por le reste des questions du 2 y du 3 je suis bloquée. Merci d'avance pour votre aide!
Bonjour,
Pour 2)a), les médianes sont dans le plan (CDI) et elles ne sont pas parallèles car perpendiculaires à deux plans non parallèles.
Pour c), Thalès dans les triangles GCD et GC'D' donne le premier résultat ; puis Chasles donne le second.
3)a) ne présente pas de difficultés avec Pythagore.
Bonjour
Pour la 2.a) j'ai mis: CC' perpendiculaire au plan (ADB) et DD' perpendiculaire au plan (ABC) cependant ces deux plans ne sont pas parallèles et comme CC' et DD' apartienent au meme plan (CDI) alors elles sont sécant en un point G
Pour la 2.c) j'ai pas réussis (tous sont vecteurs)
J'ai fait: D'G/D'D = C'G/C'C = C'D'/DC
Alors D'G/D'D = C'D'/DC
=( 1/3DC)/DC
= 1/3
D'G = 1/3D'D
= 1/3 (D'G+GD)
2/3D'G = 1/3 GD ??? La je sais pas quoi faire
Pour vecteur D'G = 1/4 D'D
J'ai fait que vecteur D'G = D'C+CG
= D'C + D'C'/3 ???
Ou sinon vecteur D'G= D'D - DG ??
Je sais pas quoi faire ensuite
2)a) est bon. Pour rédiger, je commencerai par "les droites (CC') et (DD') appartiennent au même plan (CDI) alors elles sont sécantes ou parallèles. Elles ne sont pas parallèles car (CC') perpendiculaire au plan (ADB) et (DD') perpendiculaire au plan (ABC) et les deux plans ne sont pas parallèles.
pour 2)c), utilise Thalès sans écrire de vecteur car on n'écrit pas de vecteurs en dénominateur.
(C'D')
(CD) donc GC'/GC = GD'/GD = C'D'/CD . Or C'D'/CD = 1/3 ; donc GD' = (1/3)GD .
G est un point du segment [DD'] , donc .
Pour en déduire , remplace
par
.
Bonjour, j'ai décomposé le vecteur GD mais je n'arrive pas encore au résultat demandé et je sais as où c'est mon erreur, j'ai fait:
Vecteur DG = D'D - DG
= D'D + GD
= D'D + GD' + D'D
= 2D'D + 1/3 DG
= 2D' - 1/3GD
= 2D'D - 1/3(GD' + D'D)
= 2D'D + 1/3D'G - 1/3D'D
2/3D'G = 5/3D'D
D'G = 5/3D'D * 3/2
= 5/2 D'D 
Bonsoir,
D'où vient "DG = D'D - DG " ?
En remplaçant par
dans l'égalité
tu obtiendras le résultat car il n'y aura que les vecteurs GD' et D'D .
Maintenant oui j'ai obtenu le resultat merci, en effet je sai pas pouquoi j'ai voulu decomposer avec chales.
Maintenant pour le 3.a)
Pour CI j'ai utilise pythagore:
AC^2 = AI^2 + CI^2
CI^2= AC^2 - AI^2
= 1 - 0,5^2 = 3/4
CI = 
3/2
Pour CD'
CD'^2 = DD'^2 - DC^2
CD = (DD'^2 - 1) ??
Et pour DD'
DD'^2 = CD'^2 - DC^2
DD' = (CD'^2 - 1) ??
Je viens de calculer CD' et DD' mais je ne sais pas si c'est bien fait:
Pour CD' j'ai dit que CD' = 2/3CI d'apres le teoreme des medianes
donc CD' = 2/3 * 3/2 = 3/3
Pour DD':
DC2 = DD' 2 + CD' 2
et comme CD'= 3/3
alors CD' 2 = DD' 2 - DC2
(3/3)2 = DD' 2 - 1
1/3 = DD' 2 - 1
DD' 2 = 1/3 + 1 = 4/3
DD' = (4/3) = (23)/3
c'est bien ça?
Pour la 3.b)
la droite (GD'9 est perpendiculaire au plan (ABC) donc (GD') perpendiculaire à (AD')
GA2 = AD' 2 + D'G 2
or AD' = CD' et D'G = 1/4 D'D = 1/4 * (23)/3
= 3/ 6
Puis pour la 3.c) je n'ai reellement aucune idée
Bonjour,
CD' est bon avec 3/3 
Pour DD' , le début est bon : DC2 = DD' 2 + CD' 2 .
Mais ensuite tu fais une erreur. CD' 2 = DD' 2 - DC2 est faux.
En isolant DD' dès le départ, tu obtiendras le bon résultat. DD' 2 = DC 2 - CD'2 = ....
Pour la suite, utilise 2)d) qui permet de calculer AG comme DG. Or DG = (3/4)DD' car GD' = (1/4) DD' .
Oh oui, je n'avais pas vue cette erreur 
Je trouve donc pour DD':
DD' 2 = 1 - 3/3
DD' = (1 - 3/3)
= (-3(3 -3))/3
Et pour GA:
Vecteur GA = DG + DA donc ||GA|| = ||DG|| + ||DA||
Or DG= 3/4DD'
donc GA = 1 + 3/4 * ( (-3(3 -3))/3)
= 1 + ( (-3(3 -3))/4)
Il manque quelques carrés dans DD' 2 = 1 - 3/3
Le résultat est DD' = 6 / 3
Tu n'es pas en forme ce matin car pour GA cela ne va pas non plus. Hier cela allait mieux avec GA2 = AD' 2 + D'G 2 . Ou relis mon message de 7h25.
Pour GA je reprend alors:
GA2 = AD' 2 + GD' 2
or AD' = CD' et DG' = 1/4D'D = 1/4 * 6 /3
= 6 /12
GA2 = (3 /2)2 + (6 /12)2 =3/4 + 1/24 = 19/24
GA = (19/24) = 114 /12