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intersection droite + sphere et droite + cone

Posté par
toniooo
02-01-09 à 14:47

Salut tout le monde et bonne année !!

J'ai deux petites questions sur les intersections entre droites et sphères centrée en O et entre droites et cônes dont le sommet est O :

1. Avec les coordonnes paramétriques d'une droite ( x = x0 + L.ux ; y = yo + ... ), je cherche les coefficients a, b, et c qui me servent pour résoudre l'équation du second degré pour trouver L (landa), sauf que j'ai un petit problème a un moment :

On commence par X^2 + Y^2 + Z^2 = R^2, on remplace X, Y et Z par les x, y et z des équations paramétriques de la droite etc... et j'arrive a la fin a :
   L2.(ux2 + uy2 + uz2) = R2

donc a = (ux2 + uy2 + uz2)
     b = 0
     c = R2

(résultat que je ne suis pas totalement sur, je sais c'est la honte, c'est juste des factorisations )

et en admettant que ce soit juste j'hésite entre calculer le déterminant delta et avoir 1, 2 ou 0 solutions... ou alors résoudre "normalement" une équation de type ax2 = b ce qui nous donnerait toujours 2 solutions soit 0 solutions et ce n'est pas toujours le cas (exemple d'une droite tangente a une sphère : 1 point d'intersection)



2. La même chose avec un cône, j'ai pour coefficients :

a = (ux2 + uy2 + uz2)
b = 2.ux.x0 + 2.uy.y0 - 2.uz.z0.(tan())2   avec l'angle entre Oxy et la surface du cône
c = x02 + y02 - z02.(tan())2

Je suis un peu plus sur de moi pour le cône mais on sait jamais



Voila voila, merci !!

Posté par
titiou
intersection droite-cylinde, droite-sphere 04-01-09 à 00:49

Salut a toi et bonne annee egalement !

Je pense qu'on est ds la meme ecole ... et si c'est le cas il faut pas perdre trop de temps car c'est a rendre demain soir.

Je peux au moins t'aider pour la resolution de l'intersection droite-cylindre, et droite-sphere .. mais je recherche encore de l'aide pour le cone.

L'equation parametrique d'une droite passant par le point (x0, y0, z0), de vecteur directeur (a, b, c), et de parametre t
x = x0 + t.a
y = y0 + t.b
z = z0 + t.c

L'equation d'un cylindre c'est x^2 + y^2 = R^2 (avec R le rayon du cylindre centre en l'origine)
L'equation d'une sphere c'est x^2 + y^2 + z^2 = R^2 (avec R le rayon de la sphere centree en l'origine)

Apres il te suffit d'integrer tes equations parametriques dans l'equation du volume.

Pour le cylindre,
(x0 + t.a)^2 + (y0 + t.b)^2 = R^2
Tu develloppe tout sa et tu le factorise et sa te donne quelque chose de la forme
(a^2 + b^2)t^2 + 2((x0.a+y0.b)t)+ x0^2 + y0^2= R^2
autrement dit tu as une equation du second degres de la forme ax^2 + bx + c = 0
avec
a = (a^2 + b^2)
b = 2*(x0.a + y0.b)
c = x0^2 + y0^2 - R^2

Pour la sphere c'est exactement la meme chose avec la cote z:
et tu obtiens une equation du second degres avec
a = (a^2 + b^2 + c^2)
b = 2*(x0.a + y0.b + z0.c)
c = x0^2 + y0^2 + z0^2 - R^2

Maintenant si tu peux m'aider pour resoudre l'intersection avec le cone, c'est avec grand plaisr

Bonne soiree ...

Posté par
titiou
resolution equation 2nd degre 04-01-09 à 00:57

Au final (car je n'ai pas repondu a ta question ..), il vaut mieux calculer delta, puis resoudre l'equation.

--> at^2 + b^t + c = 0
equation du second degres

delta = b^2 - 4ac
- delta > 0 : x = (-b -sqrt(delta))/2a  ou  x = (-b+sqrt(delta))/2a
- delta = 0 : x = -b/2a
- delta < 0 : pas de solutions

Posté par
titiou
droite-cone 04-01-09 à 02:54

j'ai essayer tes formules du cone ... et elles ont l'air de fonctionner avec l'exemple qui m'ai fourni dans le cours.
Bien sur il ne faut pas oublier que l'angle a donner a tan est en radian ...

Posté par
Sopheny
petit détérage 29-12-13 à 12:27

Bonjour !
Je penche actuellement sur le problème mais il semble que cette methode de fonctionne pas dans tous les cas, par exemple dans celui où la droite est parrallèle à l'axe x.
Si par exemple, notre vecteur directeur a pour équation paramétrique :
x = x0 + t*0
y = y0 + t.vy
z = z0 + t.vz

Alors la solution trouvé à l'aide du discriminant sera constante et ne pourra pas nous permettre de trouver la réponse il me semble ?
Quelqu'un a-t'il une solution ? Merci d'avances

Posté par
Sopheny
correction 29-12-13 à 12:52

Si notre droite a pour équation parametrique ** !!



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