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Niveau Maths sup
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Intervalle

Posté par Profil Ramanujan 02-10-18 à 17:02

Bonjour,

Soit \varepsilon >0

\exists \alpha >0 : ]x_0 - \alpha , x_0 + \alpha[ \subset I

Notons : \varepsilon' =\min (\alpha, \varepsilon)

Je n'arrive pas à montrer que :

 ]x_0 - \varepsilon' , x_0 + \varepsilon'[ \subset I

Posté par
lafol Moderateur
re : Intervalle 02-10-18 à 17:10

Bonjour
même en réalisant que \varepsilon ' \leq \alpha ?

Posté par
carpediem
re : Intervalle 02-10-18 à 17:10

salut

un dessin donne immédiatement le résultat

sinon trivialement si m = min (a, b)

alors x + m < x + a et x + m < x + b

....

Posté par Profil Ramanujanre : Intervalle 02-10-18 à 17:18

lafol @ 02-10-2018 à 17:10

Bonjour
même en réalisant que  \varepsilon ' \leq \alpha ?


J'essaie avec ça mais sans succès

Soit x \in  ]x_0 - \alpha , x_0 + \alpha[ donc x > x_0 - \alpha et x > x_0 +\alpha

- \varepsilon' \geq -\alpha donc x_0- \varepsilon' \geq x_0- \alpha

Je tourne en rond.

Posté par
lafol Moderateur
re : Intervalle 02-10-18 à 17:25

Ramanujan @ 02-10-2018 à 17:18


J'essaie avec ça mais sans succès

Soit x \in  ]x_0 - \alpha , x_0 + \alpha[ donc x > x_0 - \alpha et \red x > x_0 +\alpha

Je tourne en rond.


si tu commences comme ça, pas étonnant ...


il me semble que dès le collège, on est capable d'écrire que si \varepsilon ' \leq \alpha, et si x est dans l'intervalle ]x_0-\varepsilon '; x_0+\varepsilon '[, alors x_0-\alpha \leq x_0-\varepsilon ' < x < x_0+ \varepsilon ' \leq x_0 + \alpha ....

Posté par Profil Ramanujanre : Intervalle 02-10-18 à 17:26

J'ai compris je raisonnais dans le mauvais sens :

Soit x \in ]x_0 - \varepsilon' , x_0 + \varepsilon'[

Alors : x > x_0 - \varepsilon ' \geq x_0 - \alpha

Et x < x_0 + \varepsilon ' \leq x_0 + \alpha

Donc : x \in  \in ]x_0 - \alpha , x_0 + \alpha[ \subset I  

D'où le résultat  :

]x_0 - \varepsilon' , x_0 + \varepsilon'[ \subset I

Posté par
lionel52
re : Intervalle 02-10-18 à 17:30

Mais fais des dessins !!!!

Posté par
lafol Moderateur
re : Intervalle 02-10-18 à 17:31

ou comment prendre 5 lignes là où une suffit !

Posté par Profil Ramanujanre : Intervalle 02-10-18 à 17:35

lionel52 @ 02-10-2018 à 17:30

Mais fais des dessins !!!!


Je vois pas où mettre le epsilon dans le dessin

Posté par
lionel52
re : Intervalle 02-10-18 à 17:38

2 cas, epsilon > alpha et epsilon < alpha.

Fais des dessins b*****e tu te poseras 2 fois moins de questions, là tu manipules tes égalités au hasard en espérant que ça tombera bien alors qu'en fait si tu savais de quoi tu parlais (en gros en faisant un dessin) ben tu verrais le résultat directement

Posté par
mousse42
re : Intervalle 02-10-18 à 17:40

\varepsilon' =\min (\alpha, \varepsilon)

\begin{array}{ll}x\in ]x_0 - \varepsilon' , x_0 + \varepsilon'[\;\iff \;x_0 - \varepsilon' <x<x_0 + \varepsilon' \;\iff \; x_0-\alpha \le x_0 - \min (\alpha, \varepsilon) <x<x_0 + \min (\alpha, \varepsilon) \le x_0+\alpha\end{array}

Puisque \alpha \le\min(\alpha,\varepsilon)

Posté par
mousse42
re : Intervalle 02-10-18 à 17:41

\alpha \ge\min(\alpha,\varepsilon)

Posté par Profil Ramanujanre : Intervalle 02-10-18 à 17:50

lionel52 @ 02-10-2018 à 17:38

2 cas, epsilon > alpha et epsilon < alpha.

Fais des dessins b********e tu te poseras 2 fois moins de questions, là tu manipules tes égalités au hasard en espérant que ça tombera bien alors qu'en fait si tu savais de quoi tu parlais (en gros en faisant un dessin) ben tu verrais le résultat directement


bah ma démo est plus rapide qu'un dessin où faut faire plusieurs cas.
J'ai pas manipulé au hasard, j'ai juste utilisé des inégalités.

Posté par Profil Ramanujanre : Intervalle 02-10-18 à 17:51

mousse42 @ 02-10-2018 à 17:40

\varepsilon' =\min (\alpha, \varepsilon)

\begin{array}{ll}x\in ]x_0 - \varepsilon' , x_0 + \varepsilon'[\;\iff \;x_0 - \varepsilon' <x<x_0 + \varepsilon' \;\iff \; x_0-\alpha \le x_0 - \min (\alpha, \varepsilon) <x<x_0 + \min (\alpha, \varepsilon) \le x_0+\alpha\end{array}

Puisque \alpha \le\min(\alpha,\varepsilon)


J'ai fait à peu près la même chose

Posté par
carpediem
re : Intervalle 02-10-18 à 17:55

carpediem @ 02-10-2018 à 17:10

salut

un dessin donne immédiatement le résultat

sinon trivialement si m = min (a, b)

alors x + m < x + a et x + m < x + b

....

Posté par
mousse42
re : Intervalle 02-10-18 à 17:58

oui, c'est bon ramanujan

Attaque l'exercice suivant, ne perds pas de temps !!!!

Posté par Profil Ramanujanre : Intervalle 02-10-18 à 18:17

Je suis dans une démo difficile pour montrer que la bijection réciproque d'une fonction continue et strictement monotone sur I est continue sur f(I)

Un point me bloque à nouveau :

x_0 est dans l'intérieur de I
Soit f une fonction strictement croissante sur I
Soit : ]x_0 - \varepsilon' , x_0 + \varepsilon'[ \subset I

Donc : x_0 - \varepsilon' < x < x_0 + \varepsilon'

Je comprends pas comment on obtient :

x_0 - \varepsilon'< x < f(x_0 + \varepsilon')

Alors que : x_0 - \varepsilon' et x_0 +\varepsilon' n'appartiennent pas à I et f est strictement croissante que sur I

Posté par
lafol Moderateur
re : Intervalle 02-10-18 à 18:22

tu remplaces si besoin ton min par sa moitié, et là tu es certain que même l'intervalle fermé est dans I ...

Posté par Profil Ramanujanre : Intervalle 02-10-18 à 18:26

Du coup ce qui est écrit là est faux ou pas ?

Posté par
mousse42
re : Intervalle 02-10-18 à 18:35

Pourquoi tu ne prends pas

y_1,y_2\in f(I)

et tu montres y_1<y_2\implies f^{-1}(y_1)<f^{-1}(y_2) par l'absurde

Posté par Profil Ramanujanre : Intervalle 02-10-18 à 18:52

Je comprends pas l'intérêt d'introduire le \varepsilon' dans la démonstration suivante.

Soit f une fonction monotone et strictement monotone sur un intervalle I. Alors f^{-1} est continue sur I.

Supposons que f est strictement croissante sur I. Fixons y_0 \in f(I) Soit  \varepsilon >0

Nous devons montrer que f^{-1} est continue soit :

\exists \eta >0 , \forall y \in f(I), |y-y_0| < \eta \Rightarrow |f^{-1}(y)-f^{-1}(x_0)| < \varepsilon

Notons : x_0 = f^{-1}(y_0)

Premier cas : x_0 \in Int(I)

Dans ce cas, \exists \alpha >0 , ]x_0 - \alpha, x_0+ \alpha[ \subset I

Notons : \varepsilon' = \min (\alpha, \varepsilon)

Ainsi :  ]x_0 - \varepsilon', x_0+ \varepsilon'[ \subset I

|x - x_0| < \varepsilon'    \Leftrightarrow  x_0 - \varepsilon' < x < x_0 + \varepsilon' \Leftrightarrow  f(x_0 - \varepsilon') <f( x) < f(x_0 + \varepsilon')

Pas compris comment on peut passer à la croissante de f car on sait pas si x_0 - \varepsilon' et x_0 + \varepsilon' sont des éléments de I

Notons y=f(x) et

\eta_1 = y_0 - f(x_0 - \varepsilon') >0
\eta_2 = f(x_0 + \varepsilon') - y_0 >0

Comment on a le droit d'écrire : f(x_0 - \varepsilon') ?
Je ne sais pas démontrer que x_0 - \varepsilon' \in I

Ainsi :

|x - x_0| < \varepsilon'    \Leftrightarrow  y_0 - \eta_1 < y < y_0 + \eta_2

Je trouve ça bizarre que \eta_1 et \eta_2 dépendent de \varepsilon' et pas de \varepsilon alors qu'on veut montrer le résultat pour tout epsilon.


Je mettrai la suite de la démo quand j'aurais compris ces points bloquants.

Posté par Profil Ramanujanre : Intervalle 02-10-18 à 18:54

mousse42 @ 02-10-2018 à 18:35

Pourquoi tu ne prends pas

y_1,y_2\in f(I)

et tu montres y_1<y_2\implies f^{-1}(y_1)<f^{-1}(y_2) par l'absurde


Cette partie j'ai déjà étudié la démo, elle est facile.

C'est démontrer que la bijection réciproque est continue sur f(I) qui me pose problème la démo est très difficile.

Posté par
mousse42
re : Intervalle 02-10-18 à 19:07


Désolé je t'ai mal lu

Citation :
Pas compris comment on peut passer à la croissante de f car on sait pas si x_0 - \varepsilon' et x_0 + \varepsilon' sont des éléments de I


tu l'as écrit

Citation :
Notons : \varepsilon' = \min (\alpha, \varepsilon)

Ainsi : ]x_0 - \varepsilon', x_0+ \varepsilon'[ \subset I

Posté par Profil Ramanujanre : Intervalle 02-10-18 à 19:13

@Mousse

A moins qu'une chose m'échappe : ]x_0 - \varepsilon' , x_0 + \varepsilon' [ \subset I

Les bornes sont ouvertes donc je vois pas comment montrer que : (x_0 - \varepsilon') \in I

Puis je ne comprends pas l'intérêt d'introduire ce \varepsilon'

Posté par
mousse42
re : Intervalle 02-10-18 à 19:24

ah oui tu as raison

Tu peux fermer l'intervalle à ce niveau

\exists \alpha >0 , [x_0 - \alpha, x_0+ \alpha] \subset I


ou prendre

\varepsilon' = \dfrac{\min (\alpha, \varepsilon)}{2}

je te rédige une preuve plus smple si tu veux ça me fait des révisons

Posté par Profil Ramanujanre : Intervalle 02-10-18 à 19:26

On a pas le droit de fermer l'intervalle x_0 est dans l'intérieur de I donc il existe un ouvert centre en x_0 inclus dans I

Il faut que je montre qu'avec votre  \varepsilon' ça marche.

Quand j'aurais réussi je veux bien Mousse mais là je veux pas me disperser j'essaie de comprendre ou corriger s'il y a une enième coquille

Posté par
mousse42
re : Intervalle 02-10-18 à 20:05

oui il existe un ouvert mais on s'en moque.

tu veux montrer que pour tout \varepsilon>0,\exists \eta >0,\forall y\in f(I),\quad |y-y_0|<\eta\implies |g(y)-g(y_0)|<\varepsilon je note g la récipoque.

Soit  \varepsilon>0

Il existe un \delta tel que

g(y_0)-\varepsilon<g(y_0)-\delta<g(y)<g(y_0)+\delta<g(y_0)+\varepsilon    et     [g(y_0)-\delta, g(y_0)+\delta]\in I,

ainsi il existe \alpha et \beta tels que g(y_0)-\delta =\alpha et g(y_0)+\delta=\beta

Puisque \alpha<x_0<\beta\implies f(\alpha)<f(x_0)=y_0<f(\beta)

en prenant \eta =\min(|y_0-f(\alpha)|,|y_0-f(\beta)|), on a montré l'implication

Posté par Profil Ramanujanre : Intervalle 02-10-18 à 20:18

Avec votre \varepsilon' ça marche nikel Mousse.

La fin de la démo j'essaie de corriger avec le nouveau \varepsilon'

On a obtenu : |x - x_0| < \varepsilon'    \Leftrightarrow  y_0 - \eta_1 < y < y_0 + \eta_2

On sait que : y_0 - \eta_1 et y_0 + \eta_2 sont dans f(I) Comme f est continue sur I alors f(I) est un intervalle et donc :

]y_0 - \eta_1 , y_0+ \eta_2 [ \subset f(I)

Si on pose : \eta = \min(\eta_1 , \eta_2) on obtient :

]y_0 - \eta , y_0+ \eta [ \subset f(I)

Ainsi on a : \forall y \in f(I)

|y-y_0| < \eta \Rightarrow y_0 - \eta_1 < y < y_0+ \eta_2 \Rightarrow |x-x_0| < \varepsilon' \Rightarrow |x-x_0| < \varepsilon

C'est-à-dire :

|y-y_0| < \eta \Rightarrow |f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)| < \varepsilon

Posté par
mousse42
re : Intervalle 02-10-18 à 20:19

laisse tomber mes explications, je raconte n'importe quoi aujourd'hui  

Posté par Profil Ramanujanre : Intervalle 02-10-18 à 20:25

Pour le deuxième cas :

x_0 est une borne de I.
Supposons que x_0 soit la borne inférieure de I.

Comment on sait que I possède une borne inférieure ? On sait juste que I est un intervalle.

@Mousse

Je n'ai pas compris votre démo, je suis perdu à la première ligne.

Posté par
mousse42
re : Intervalle 02-10-18 à 20:27

c'est pas grave c'ets faux

Posté par Profil Ramanujanre : Intervalle 02-10-18 à 20:35

Je comprends rien au 2ème cas :

Soit x_0 une borne de I.

Supposons que x_0 soit la borne inférieure de I.
Comment on sait qu'elle existe la borne inférieure ?

Comme f est strictement croissante sur I, y_0 est la borne inférieure de f(I)
Ca vient d'où ça ?

Posté par
lafol Moderateur
re : Intervalle 03-10-18 à 07:32

Tu as été au lycée un jour ? Tu ne sais toujours pas que la borne inférieure d'un intervalle [x_0,?? est x_0? (idem si l'intervalle était ouvert d'ailleurs)

Posté par
lionel52
re : Intervalle 03-10-18 à 10:38

Perso je pense que la démonstration de la continuité de la fonction réciproque est trop "technique" pour ton niveau actuel, je te conseille d'y revenir plus tard mais de plus te concentrer sur les points importants du chapitre pour te faire la main

Posté par
luzak
re : Intervalle 03-10-18 à 11:12

@Ramanujan !
Tu nous fait l'autre jour (concernant les limites) de nombreuses pages sur la possibilité de remplacer des intervalles centrés par des intervalles ouverts et tu devrais t'en servir !
Pour x_0 intérieur à l'intervalle, tu choisis x_1<x_0<x_2 et ]x_1,x_2[ est un voisinage de x_0.
Avec y_1=f(x_1),\;y_2=f(x_2) tu as y_1<y_0<y_2 (je suppose traiter le cas où la fonction est croissante) donc tu as trouvé un voisinage de y_0 (à savoir X=]y_1,y_2[ et f^{-1}(X)\subset]x_1,x_2[ : c'est exactement la continuité en y_0.

Quand y_0 est une borne tu ne peux avoir que la continuité à droite ou à gauche et tu adaptes ce qui précède.
Bien sûr il faut pour cela avoir maîtrisé le fait  que dans [y_0,z] l'intervalle [y_0,y_2[ (même non ouvert) est un voisinage de y_0 car les limites (ici à droite) doivent être manipulées dans un intervalle qui n'est pas \R.

Posté par Profil Ramanujanre : Intervalle 03-10-18 à 13:39

@Luzak

Je n'ai pas compris le rapport entre votre post et les points qui me posent problème dans la démonstration.

Posté par Profil Ramanujanre : Intervalle 03-10-18 à 13:43

lafol @ 03-10-2018 à 07:32

Tu as été au lycée un jour ? Tu ne sais toujours pas que la borne inférieure d'un intervalle [x_0,?? est x_0? (idem si l'intervalle était ouvert d'ailleurs)


Le premier cas de la démo est : x_0 appartient à l'intérieur.

L'intérieur d'un ouvert est un ouvert donc si l'intervalle est ouvert x_0 sera toujours dans l'intérieur donc le cas x_0 est une borne est pour un intervalle fermé en x_0

Posté par Profil Ramanujanre : Intervalle 03-10-18 à 13:48

Le début sur l'intervalle ouvert j'ai parfaitement compris. Il existe un ouvert inclus dans I car on prend x_0 dans l'intérieur.

Le point qui me pose problème est ici :

Ainsi :  ]x_0 - \varepsilon', x_0+ \varepsilon'[ \subset I

|x - x_0| < \varepsilon'    \Leftrightarrow  x_0 - \varepsilon' < x < x_0 + \varepsilon' \Leftrightarrow  f(x_0 - \varepsilon') <f( x) < f(x_0 + \varepsilon')

SI par exemple : I = ]x_0 - \varepsilon', x_0+ \varepsilon'[  
On a bien :  ]x_0 - \varepsilon', x_0+ \varepsilon'[ \subset  ]x_0 - \varepsilon', x_0+ \varepsilon'[

Comment on peut passer à la croissance de f en x_0 - \varepsilon' et x_0 + \varepsilon' alors que ces points n'appartiennent pas à I (intervalle ouvert) ?
f est strictement croissante que sur I ...

Pour ça que je dis qu'il faut diviser le Min par 2 !

Comment on peut écrire : f(x_0 - \varepsilon') alors que x_0 - \varepsilon' \notin I

Posté par Profil Ramanujanre : Intervalle 03-10-18 à 14:17

@Luzak

Y a même pas besoin de rentrer dans les voisinages et les complications de la topologie dans cette démo.

Quand x_0 est une borne en faisant un dessin on voit que :

\exists \alpha >0 , [x_0 ,x_0+ \alpha [ \subset I

Et en prenant : \varepsilon' = \min \{\alpha, \epsilon \} on a :  (j'aurais pris Min/2)

[x_0 , x_0 + \varepsilon'[ \subset I

En partant de x_0 \leq x  < x_0 + \varepsilon' on applique la croissance à f  et on trouve un eta qui convient.

 x_0 + \varepsilon' n'appartient pas forcément à I donc je prendrais epsilon' égal au Min/2

Et finalement utiliser :

|y-y_0| < \eta \Rightarrow y_0 \leq y < y_0 + \eta \Rightarrow x_0 \leq x < x_0+ \varepsilon'

Posté par
luzak
re : Intervalle 03-10-18 à 17:57

C'est toi qui compliques en voulant à tout prix connaître la distance x_0+\varepsilon'-x_0 et fourrer des valeurs absolues inutiles .
Tu peux prendre x_1\in I strictement supérieur à x_0 (je n'ai aucun besoin de savoir que x_1=x_0+\varepsilon').
L'image de x_1 nommée y_1 est dans l'intervalle de départ et vérifie y_0<y_1 (je n'ai pas besoin de savoir que y_1=y_0+\eta)
Et la croissance donne : y_0<y<y_1\implies x_0<f^{-1}(x)<x_1
Donc on a démontré la continuité de f^{-1} en y_0.

.........................................
Je te signale au passage que ta dernière ligne

Citation :

|y-y_0| < \eta \Rightarrow y_0 \leq y < y_0 + \eta \Rightarrow x_0 \leq x < x_0+ \varepsilon'
n'est pas correcte.
Tu devrais ajouter explicitement que tu veux y_0\leqslant y.
En effet quand on a seulement  |y-y_0| < \eta on n'est pas certain de ce qui suit.

Posté par
carpediem
re : Intervalle 03-10-18 à 18:42

tant de msg pour si peu ...

Posté par Profil Ramanujanre : Intervalle 03-10-18 à 19:32

Oui la dernière ligne n'est valable que pour : \forall y \in f(I) avec y_0=f(x_0)=\inf(I)

|y-y_0| < \eta \Rightarrow y_0 \leq y < y_0 + \eta \Rightarrow x_0 \leq x < x_0+ \varepsilon' \Rightarrow x_0 \leq x < x_0+ \varepsilon \Rightarrow |x-x_0| < \varepsilon

Soit : |y-y_0| < \eta \Rightarrow |f^{-1}(y) - f^{-1}(y_0)| < \varepsilon

Posté par Profil Ramanujanre : Intervalle 03-10-18 à 19:37

J'ai rien compris à votre démo Luzak.

Quel est votre \eta >0 qui vérifie : y-y_0| < \eta

Posté par
luzak
re : Intervalle 03-10-18 à 23:03

Tout bêtement y_1-y_0, c'était d'ailleurs écrit !

Posté par Profil Ramanujanre : Intervalle 05-10-18 à 01:05

Je vois pas en quoi vous avez montré :

|y-y_0| < \eta \Rightarrows |f^{-1}(y) - f^{-1}(y_0)| < \varepsilon

Posté par Profil Ramanujanre : Intervalle 05-10-18 à 01:07

Plutôt :

|y-y_0| < \eta \Rightarrow |f^{-1}(y) - f^{-1}(y_0)| < \varepsilon

Je suis un débutant en maths du supérieur, si vous n'utilisez pas les termes de la définition exacte je ne peux pas comprendre ce que vous faites.

Posté par
lafol Moderateur
re : Intervalle 05-10-18 à 07:44

On ne peut pas débuter sereinement les maths du supérieur sans maîtriser celles du secondaire. Tu cherches à mettre la charrue avant les bœufs, là.
Être aussi maladroit pour manipuler des inégalités et encadrements, arrivé à bac+1, ça gène trop !

Posté par
luzak
re : Intervalle 05-10-18 à 08:19

Citation :
Plutôt :
|y-y_0| < \eta \Rightarrow |f^{-1}(y) - f^{-1}(y_0)| < \varepsilon


Pour la nème fois : y_1<y_0<y_2\implies|y-y_0|<\min(y_0-y_1,y_2-y_0) et |y-y_0|<\eta\implies y_1=y_0-\eta<y<y_0+\eta=y_2

Idem pour les x=f^{-1}(y),\;x_1=f^{-1}(y_1),\;x2=f^{-1}(y_2)

Et ne reviens pas pleurer si j'ai utilisé des inégalités strictes alors que ton fichu manuel a mis des inégalités larges ou l'inverse...

Posté par Profil Ramanujanre : Intervalle 09-10-18 à 02:08

J'ai compris le Min en faisant un dessin ça permet de rester dans l'intervalle ]y_1,y_2[

Du coup le eta vaut : \eta = \min (y_0-y_1,y_2-y_0)

Posté par
luzak
re : Intervalle 09-10-18 à 08:38

Mais quel besoin cet \eta ?
Pourquoi ne comprends-tu pas que y\in]y_1,y_2[ suffit !

Tu as compris "en faisant un dessin" ! Depuis le temps qu'on te dit de faire des schémas, y compris avec des gros mots !

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