Niveau LicenceMaths 2e/3e a

intervalle confiance

Posté par
nirosane 23-03-20 à 16:15

Bonjour,

J'ai un problème avec un exercice je ne vois par quoi approché la loi d'une variable aléatoire Z pour construire un intervalle de confiance.

Voici l'exercice :
Pour estimer la proportion p de clients satisfaits par un produit, une société interroge au hasard 170 personnes parmi sa clientèle.
On cherche à construire un intervalle de confiance bilatère pour p de niveau de confiance 93 %. Pour cela, on note X le nombre de personnes satisfaites sur 170 personnes interrogées.

X à pour variance 170p(1-p) et pour esperance 170p

On definit Z = $X-170p/\sqrt{X(170-X)}$

Par quelle loi peut-on approcher la loi de Z.
Determiner sa variance et son esperance.

Posté par re : intervalle confiance 23-03-20 à 16:42

Bonjour.

Soit $X_k$ la variablé aléatoire égale à 1 si le kème client est satisfait, égale à 0 sinon. Pour tout k, la variable $X_k$ suit une loi de Bernoulli de paramètre p. Notons $\overline X_n=\frac1n\sum_{k=1}^nX_k$ la moyenne empirique.

D'après la loi forte des grands nombres, $\overline X_n$ converge presque sûrement vers p. Donc $\overline X_n(1-\overline X_n)$ converge presque sûrement vers p(1-p). De plus, d'après le théorème central limite, $\frac{\overline X_n-p}{\sqrt{p(1-p)}}$ converge en loi vers la loi normale centrée réduite. On en déduit, par le théorème de Slutsky, que
$\frac{\overline X_n-p}{\sqrt{\overline X_n(1-\overline X_n)}}=\frac{\overline X_n-p}{\sqrt{p(1-p)}}\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\overline X_n(1-\overline X_n)}$
converge en loi vers la loi normale centrée réduite.

En particulier, en prenant $n=170$ , on voit que l'on peut donc approcher la loi de $Z$ par la loi normale centrée réduite.