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Intervalle de confiance : définition

Posté par
stokastik 29-07-06 à 11:02

Bonjour,

Je suis en train d'apprendre des statistiques en solo et je me pose des questions sur ce qu'on appelle un intervalle de confiance. J'apprends avec ce que j'ai trouvé sur le ouebbe, je n'ai pas de bouquin de stats pour vrais matheux.

Je vois deux définitions d'un intervalle de confiance. Le contexte est le même : on a un échantillon d'une loi $P_{\theta}$ dépendant d'un paramètre $\theta$ que l'on cherche à estimer.

- la 1ère "définition" serait : $[a, b]$ est un intervalle de confiance de niveau $1-\alpha$ si la probabilité du résultat que l'on a observé est inférieure à $\alpha$ si $\theta$ n'est pas dans $[a, b]$

- dans la 2ème définition, l'intervalle de confiance de niveau $1-\alpha$ est la réalisation d'un intervalle aléatoire $[T_1, T_2]$ tel que $P(\theta \in [T_1, T_2])=1-\alpha$ (ou $\geq 1-\alpha$ peu importe), où $T_1$ et $T_2$ sont fonctions de l'échantillon. On peut obtenir de tels intervalles de confiance à l'aide de la fonction quantile d'un estimateur convergent de $\theta$

Bref, quelqu'un peut-il m'éclairer sur ce qu'on appelle un intervalle de confiance ?

Posté par Intervalle de confiance : définition 29-07-06 à 16:49

Rebonjour.
Je vais essayer de rassembler mes souvenirs de ce que j'enseignais en prépa véto (il y a longtemps !).
Connais tu la loi "normale" appelée aussi loi de Gauss ?
C'est une aléatoire X = N(m,) continue, définie sur R et dont la densité est donnée par :

$3$\textrm F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x - m)^2}{2\sigma^{2}}}$ .
Son espérance est m, son écart type est .

On considère alors l'aléatoire normale centrée réduite N = N(0,1) définie par sa densité :

$3$\textrm f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$ .
Son espérance est 0, sa variance 1.

Sa courbe représentative est classique (courbe en cloche). Par contre, l'intégrale n'est pas calculable et P(a < N(0,1) < b) se trouve par des tables de valeurs numériques (ou à la calculette).

On a : $3$\textrm N = \frac{X - m}{\sigma}$

Cela étant, prenons un réel positif t.
P(|N| < t) = P(-t < N < t) = .
On appelle intervalle de confiance au risque 1 - l'intervalle ]-t,t[.
On a chances d'être "dedans" et 1 - chances d'être "dehors".

Si l'on reprend X = N(m,), lin tervalle de confiance pour X est :

$3$\textrm I = ]m - t\sigma , m + t\sigma[$ .

J'ai pris l'exemple de l'aléatoire de Gauss car elle est très répandue en statistiques.
En général, on travaille au risque de 5% (95% de chances d'avoir raison). Dans ce cas, la valeur de t est environ de 1,96.

Est-ce que cela peut t'aider à comprendre le principe ?
Cordialement RR.

Posté par re : Intervalle de confiance : définition 29-07-06 à 17:31

Oui bien sûr que j'ai compris le principe! (et que je connais la loi gaussienne...) Je cherche une définition générale d'un intervalle de confiance.

Posté par bret (invité)re : Intervalle de confiance : définition 30-07-06 à 16:40

salut à tous,

pour moi, la définition d'un intervalle de confiance est la premiere que Stokastik a donnée, mais je crois qu'on peut voir cela d'autres manieres.
La loi normale est très importante pour le calcul d'intervalle de confiance, car on calcule souvent l'intervalle de confiance grace au théoreme central limit, ou grace a d'autres outils de statistique gaussienne.

Si mes souvenirs sont bons, il existe un bouquin qui développe bien ce sujet : il s'appelle "statistique" et c'est de A. Fuchs et de C Fourgeaud (éditions dunod).

a plus,

bret

Posté par Intervalle de confiance 02-09-08 à 14:08

Bonjour,

Certaines remarques faites sur ce sujet m'ont beaucoup aider dans mon étude du probleme, et ce que je souhaite savoir aussi est quand est ce qu'on utilise telle ou telle loi pour tel problème?

Aussi, qu'appel-t-on par "fonction pivotale"? et comment la déduire?

Enfin, je ne sait toujours pas comment lire sur les tables de lois (ça m'échappe un peu!), un petit éxemple démonstratif pourrait s'avérer vraiment utile pour moi.

Volià, Merci de me répondre