Bonjour BERNARD2019.
Quand on souhaite étudier la dérivabilité ou la continuité, on a besoin que la fonction définie en un point , le soit tout autour de ce point pour pouvoir donner un sens à l'expression , au moins pour des h assez petits.

Autrement dit, on a besoin que la fonction soit définie autour de 0.

Le meilleur outil, c'est l'ouvert.

Salut jsvdb je te remercie pour ton message
Mais j aime bien comprendre pour ce choix d intervalle ouvert et par un autre types d intervalles . Merci

salut

de toute façon tout intervalle ouvert est inclus dans un intervalle fermé et réciproquement .... ou presque ...

sauf qu'on pourrait alors considérer l'intervalle [a, a] qui contient l'intervalle ouvert ]a, a[ = qui n'ont aucun intérêt pour parler de la dérivabilité ou de la continuité ...

aussi pour parler de dérivabilité ou de continuité au point a on considère toujours un intervalle ouvert contenant a ... pour être sur qu'il contienne a ... et autre chose que a ...

Salut  carpediem
je n est pas bien compris dans votre phrase "... pour être sur qu'il contienne a ... et autre chose que a ..."
justifier moi pourquoi ce choix est important dans l étude de dérivabilité et pas dans l étude de la continuité . Est ce que cela à une relation avec l existence d une limite en x0
svp donner moi plus d explications et détails

Bonjour !
Quand tu dérives tu dois diviser par et il est donc indispensable d'avoir un intervalle contenant et un point distinct.

Quand tu étudies la continuité, le problème n'est pas un problème.

Pour une limite en tout dépend de ta définition : dans certains cas on doit prendre les voisinages épointés et il y obligation d'avoir au moins un point distinct de

Salut carpediem
est il possible de me donner d autres détails sur le choix des intervalles ouverts dans plusieurs théorèmes d analyse . Merci

ben par exemple on a le classique :

si f (continue et dérivable sur un intervalle I) admet un maximum en un réel a alors f'(a) = 0

ce théorème peut-être faux si on ne prend pas un intervalle ouvert ...

Salut carpediem
svp justifier moi pourquoi le théorème  est faut  si on ne prend pas un intervalle ouvert
  merci

fais des dessins et réfléchis ...

Salut carpediem
donner svp une réponse car je n arrive pas à bien comprendre l influence du choix de type d intervalle  dans le théorème.Dans tous les messages je ne trouve pas de réponses qui justifier le choix d intervalle ouvert .Merci

Avec l'expérience tu comprendras mieux ...

Par exemple, la fonction qui a x associe x et définie sur admet un maximum en 1 et pourtant la dérivée en 1 vaut 1 !

Dans le contexte du fil, c'était l'exemple qu'il ne fallait surtout pas donner.

Salut
Pourquoi le problème d intervalle ouvert ne se pose pas dans l étude de la continuité
par contre le choix d intervalle ouvert est important au niveau de l étude de                                         la dérivabilité.Est ce que cela est  à cause de la notion de voisinage en un point donc de l existence d une limite .
Si possible de me donner plus d explications merci

Et si tu lisais les réponses ?