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interversation des sommes

Posté par
Ader 02-12-16 à 20:06

Salut tout le monde,
lors d'un exercice on me demande d'intervertir les deux symboles S=\sum_{k=1}^{n}{\sum_{l=1}^{n+1-k}{a_{k,l}}}
Lorsque je commence à intervertir, j'écris S=\sum_{l=1}^{n}{\sum_{k=?}^{n}{a_{k,l}}}
L'indice k est il égal à n+1-l ?

Posté par
carpediemre : interversation des sommes 02-12-16 à 20:17

salut

et si tu regardais ce qu'est la somme intérieure pour n = 10 et k = 3 (et k = 4) par exemple ....

Posté par
Aderre : interversation des sommes 02-12-16 à 21:33

(pour k=3) \sum_{l=1}^{8}{a_{l}}=36
(pour k=4) \sum_{l=1}^{7}{a_{l}}=28

Posté par
carpediemre : interversation des sommes 02-12-16 à 23:34

1/

2/ d'où viennent ces valeurs ?

3/ je ne te demande pas de calculer les sommes mais de les écrire

Posté par
Aderre : interversation des sommes 03-12-16 à 15:59

Pour la somme intérieur j'ai remplacé n par 10 et k par 3.

Pour k=3, n+1-k=8

S=(\sum_{k=1}^{10}{a_{k}})(\sum_{l=1}^{8}{a_{l}})

Posté par
carpediemre : interversation des sommes 03-12-16 à 16:00

ça n'a plis rien à voir avec ton énoncé ...

Posté par
Aderre : interversation des sommes 03-12-16 à 16:06

Je ne comprends pas la démarche.

Posté par
carpediemre : interversation des sommes 03-12-16 à 16:14

dans ton énoncé a est indicé par deux lettres ...

dans ton dernier post a n'est plus indicé que par une lettres et tu fais apparaître des produits de a ...

Posté par
Aderre : interversation des sommes 03-12-16 à 16:27

On procède comment ?

Posté par
carpediemre : interversation des sommes 03-12-16 à 17:39

écris S=\sum_{k=1}^{n}{\sum_{l=1}^{n+1-k}{a_{k,l}}} sans le symbole de somme (celui qui est à l'intérieur)

Posté par
Aderre : interversation des sommes 03-12-16 à 17:49

S=(\sum_{k=1}^{n}{a_{k}})(\frac{(n+1-k)(n+2-k)}{2})

Posté par
carpediemre : interversation des sommes 03-12-16 à 18:01



\begin{array}{rcl} \\ S = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^{n + 1 - i} a_{i,j} & = & a_{1,1} + a_{1, 2} + ... + a_{1, n - 1} + a_{1,n} \\ \\ & + &  a_{1,1} + a_{1, 2} + ... + a_{1,n - 1} \\ \\ & + & ... \\ \end{array}

je t'invite donc à écrire cela de façon bien plus complète avec :

plus de termes par ligne

"toutes" les lignes (les trois premières + les trois dernières)

....

Posté par
Aderre : interversation des sommes 03-12-16 à 18:45

Lorsque L (ligne) avance d'un terme vers n, C (colonne) se réduit d'un terme.
Si je prends seulement les j>0, j'obtiens un triangle.

Posté par
etniopalre : interversation des sommes 03-12-16 à 19:04

    Ader
     Quand tu as     \sum_{k=1}^{n}{\sum_{l=1}^{n+1-k}{a_{k,l}}}   à modifier je te conseille de te faire un petit dessin des couples (k,l) concernés  cad les (k,l)  qui vérifient  1 k n    et ,  pour chacun de ces k , 1 l n+1 - k .

Posté par
Aderre : interversation des sommes 06-12-16 à 09:08

Merci

Posté par
carpediemre : interversation des sommes 06-12-16 à 16:35

de rien

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : interversation des sommes 31-12-16 à 18:40

Une autre façon de faire, sans schéma, de façon purement formelle...

S=\sum_{k=1}^{n}{\sum_{\ell=1}^{n+1-k}a_{k, \ell}}

On change de notation pour mettre les conditions "sous" les signes sigma :

S=\sum_{\substack{1 \le k \le n \\1 \le \ell \le n+1-k }}a_{k, \ell}}

On procède au changement d'indice \ell \mapsto n+1-\ell :

S=\sum_{\substack{1 \le k \le n \\1 \le n+1-\ell \le n+1-k }}a_{k, n+1-\ell}}

S=\sum_{\substack{1 \le k \le n \\ k \le \ell \le n }}a_{k, n+1-\ell}}

On écrit les deux double-inégalités en une :

S=\sum_{\substack{1 \le k \le \ell \le n }}a_{k, n+1-\ell}}

On redécoupe en deux double-inégalités différentes :

S=\sum_{\substack{1 \le \ell \le n \\ 1 \le k \le \ell }} a_{k, n+1-\ell}}

\boxed{ S = \sum_{\ell=1}^n \, \sum_{k=1}^{\ell} a_{k, n+1-\ell} }

Sauf erreur.

Nicolas

PS - Inspiration : Mathématiques concrètes de Graham, Knuth et Patashnik

Posté par
jeansebre : interversation des sommes 01-01-17 à 12:41

... qui a l'air d'être ton livre de chevet!

Bonne année à tous!

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : interversation des sommes 01-01-17 à 15:43

J'avais laissé de côté quelques exercices qui résonnaient avec mes souvenirs de ce livre, et j'ai profité de mes vacances pour l'ouvrir à nouveau.

Posté par
jeansebre : interversation des sommes 01-01-17 à 15:47

Judicieux!


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