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Invariance par translation de la mesure de Lebesgue
Bonjour, je bloque sur la question b) de cet exercice :
Soit A une partie de IR et x un réel on note la translation : A+x = {x+a, a dans A}
On admet que la tribu des boréliens et la mesure de Lebesgue l sont invariants par translation. l(A+x)=l(A)
Pour A un borélien de IR, tel que l(A) > 1 et pour n dans Z on note
An = (A+n) [0;1[
a) Montrer que l(A) = \sum_{n\epsilon Z}^{}{l(An)}
Ici j'ai dit que An = A
[-n;-n+1[
Les An sont disjoints et leur réunion est IR donc par sigma additivité on a l'égalité mais dans la question b) on doit montrer que l'intersection des An est non vide c'est étrange ...
Merci pour votre aide
salut
la question a/ n'est pas compréhensible ...
on ne connait pas la question b/
donc pourrait-on avoir un énoncé exact et complet ...
Ah oui excusez moi
a) Montrer que l(A) =
b) Montrer que
[/tex] =/= 
c) en déduire qu'il existe a, b dans A tel que a =/= b et a-b 
Z
Bonjour ,
Soit donc A un borélien de 
.
On demande de montrer que si la mesure de Lebesgue m(A) de A est > 1 alors il existe au moins un couple (x , y) A² tel que x 
y et x - y 
.
Ceci revient (c'est la contraposée ) à montrer que si pour tout (x , y) A² tel que x y on a x - y 
alors la m(A) est 
1 .
Sers toi de ce que
1.les A(n) sont contenus dans [0 , 1[
2. A est la réunion des An - n
3. m(An = m(A 
[-n , -n + 1[) pour tout n de .
Bonjour merci pour cette nouvelle piste
Il faut donc montrer A est inclus dans l'union des An- n : alors il faut montrer que tout élément a de A n'est pas égal à sa partie entière :
a = a- [a] + [a]
Ainsi a appartiendrait à A(-[a])
En posant y = a-[a] il faut montrer que y n'est pas nul : mais je ne vois pas à quoi appliquer l'hypothèse
Pour la suite on dit que m(A) =lim m(An - n) = lim m(An) <= 1 par croissance séquentielle
Merci pour votre aide
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