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Inverse d?une fonction

Posté par
Cathe 01-10-21 à 06:50

Bonjour à tous, comment pouvez-vous m?aider avec l?exercice suivant s?il vous plaît?                                                                                    

F(x)=ax+b/cx+d.quelles conditions d?a, b,c et d guarantissent que l?inverse de f(x) existe ?
Trouver f(x).                                        
Je sais seulement que si j?ai f(x), je dois prendre une valeur quelconque pour x et calculer f(x).
Le résultat trouver sera y et je calculerai f exposant -1 de y et si je trouve x , c?est que j?ai trouvé la bonne inverse ou encore si j?ai a et b je fais f(a)=f(b) qui entraîne a=b

* modération > le niveau a été modifié  en fonction du profil renseigné *
texte remis en forme

Posté par
malou Webmasterre : Inverse d?une fonction 01-10-21 à 08:46

Bonjour

inverse ou réciproque ? ce n'est pas la même chose...
et puis :

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q27 - Comment bien écrire une formule ?


Posté par
Ulmierere : Inverse d?une fonction 01-10-21 à 11:36

Pour le reste c'est faux aussi

Citation :
Le résultat trouvé sera y et je calculerai f exposant -1 de y et si je trouve x , c'est que j'ai trouvé la bonne (fonction) inverse


Ceci pour deux raisons. D'abord avant d'appliquer une fonction, on commence par vérifier au moins sur quel domaine (de définition) on s'apprête à travailler. Ensuite, trouver g telle que g(f(x)) = x pour tout x du domaine de f ne donne pas la réciproque de f, mais seulement une réciproque à gauche. Pour pouvoir écrire g = f^{-1} il faudra aussi vérifier que f(g(y)) = y pour tout y du domaine de g.
Ce n'est pas une évidence. Prends par exemple f : \mathbb{N}\to\mathbb{R} définie par f(n) = \dfracn2. Tu peux définir g : \mathbb{R}\to\mathbb{R} par g(x) = 2x. Tu auras g(f(n)) = 2*(n/2) = n pour tout n entier mais f(g(x)) n'a aucun sens pour x = 1/4 par exemple puisque f n'est définie que sur les entiers et 1/2 n'en est pas un...


Ensuite, tu nous dis
Citation :
ou encore si j'ai a et b je fais f(a)=f(b) qui entraîne a=b


ce qui est une façon maladroite de nous dire que f est injective. Il y a des tas de fonctions injectives non surjectives et donc non bijectives. Par exemple si je prends f : \mathbb{N}\to \mathbb{Z} définie par f(n) = n, tu peux vérifier que pour tous deux entiers naturels f(m) = f(n) implique bien m = n. Pourtant f n'est pas inversible, puisque -1 n'a pas d'antécédent.
Ce qui est vrai par contre, c'est que toute fonction f : A \to B injective induit une fonction \hat{f} : A\to f(A) bijective

Posté par
Ulmierere : Inverse d?une fonction 01-10-21 à 11:38

Coquille dans le premier paragraphe, il faut lire f(n) = \dfrac{n}{2}

Posté par
Cathere : Inverse d?une fonction 01-10-21 à 16:30

Bonjour, merci pour les rectifications. Je ne savais pas comment bien écrire une telle expression en ligne. Je voulais bien dire inverse et non réciproque. Voici l'expression que je voulais écrire: f(x)=(ax+b)/(cx+d) et on me demande de trouver f-1et quelles conditions de a, b, c et d guarantissent que f-1 existe .

Posté par
Cathere : Inverse d?une fonction 01-10-21 à 16:31

Je m'excuse c'est réciproque et non inverse.

Posté par
GBZMre : Inverse d?une fonction 01-10-21 à 17:17

Bonjour,

Tu dois donc résoudre y=f(x) en x, c.-à-d. exprimer x en fonction de y, en discutant bien à quelle condition c'est possible. Attention à cette discussion !

Posté par
Cathere : Inverse d?une fonction 01-10-21 à 19:07

Merci beaucoup GBZM. J'ai résolu l'exercice en considérant que a,b,c,d ne sont pas égales à 0 et que x€ R.

Posté par
Ulmierere : Inverse d?une fonction 01-10-21 à 19:41

Cathe @ 01-10-2021 à 16:31

Je m'excuse c'est réciproque et non inverse.


Pour la prochaine fois, écris

* f^{-1} pour la réciproque de f (ie la fonction g telle que g(f(x)) = x pour tout x et f(g(y)) = y pour tout y sur des domaines à préciser

* et 1/f ou \dfrac{1}{f} pour la fonction réelle ou complexe g telle que g(x)\times f(x) = 1 et définie sur le même ensemble que f




Cathe @ 01-10-2021 à 19:07

Merci beaucoup GBZM. J'ai résolu l'exercice en considérant que a,b,c,d ne sont pas égales à 0 et que x€ R.


Ca par contre, c'est faux. Si je prends a = 1, b = c = 0 et d = 1 je trouve la fonction identité qui a un inverse alors qu'on n'a pas a = b = c = d = 0

Posté par
GBZMre : Inverse d?une fonction 01-10-21 à 20:01

Cathe @ 01-10-2021 à 19:07

Merci beaucoup GBZM. J'ai résolu l'exercice en considérant que a,b,c,d ne sont pas égales à 0 et que x€ R.


Je doute que tu aies correctement résolu l'exercice sur cette base.
As-tu bien, à chaque fois que tu divisais par une quantité, vérifié si celle ci était nulle ou pas ?

Posté par
Cathere : Inverse d?une fonction 01-10-21 à 23:31

Je n'ai pas vérifié cela donc il semble que les conditions ne sont pas correctes. Mais en ce qui a trait à f-1, je l'ai fait selon vos  explications.

Posté par
Cathere : Inverse d?une fonction 02-10-21 à 00:19

Pour les conditions, maintenant j'ai mis: si b et a =0, cx et dx doivent être différents de 0. Si C, d ou x=0, b et a doivent être différents de 0.

Posté par
GBZMre : Inverse d?une fonction 02-10-21 à 11:12

Hum... ça ne va pas. Montre nous tes calculs, là on parle dans le vide.

Posté par
Cathere : Inverse d?une fonction 02-10-21 à 15:51

F-1(f(x))= x, x€                                         Y=f(x).                                                                                          Y=(ax+b)/(cx+d).                                                                  Y(cx+d)=(ax+b).                                                                     (Yc-a)x=b-yd.                                                                         F-1: x=(b-yd)/(yc-a).                                                                      Si b=0, yd doit être 0. Si yd=0, b0. Si yc =0, a0. Si a =0, yc0.

Posté par
Ulmierere : Inverse d?une fonction 02-10-21 à 16:09

C'est truffé d'erreurs.
Un bon calcul ou une bonne démonstration commence en génral par un "soit". Ici, ce serait "soit x\in\cdots".
\mathbb{R} n'est pas ce qu'il faut mettre dans les trois petits points, puisque f(x) n'a pas de sens pour n'importe quel réel x

Après avoir corrigé cela, écris "Soit Y = f(x)" ou bien "Posons/Notons Y = f(x)".
A la ligne suivante Y = f(x) = ...
donc ...
donc ...

Et on réfléchit avant de diviser par zéro. Et on ne remplace pas Y par y.
Et on réfléchit au fait que a,b,c, et d sont des constantes fixées et que c'est x et y qui peuvent varier. Donc il n'est pas question de donner des conditions sur a, b, c ou d en fonction de x ou y.

Posté par
Ulmierere : Inverse d?une fonction 02-10-21 à 16:10

Et contrairement à ce que je fais (volontairement ) dans mon post précédent, on choisit entre Y et y

Posté par
GBZMre : Inverse d?une fonction 02-10-21 à 16:11

C'est bien ce que je disais. Tu divises par yc-a sans trop de précaution. . La discussion que tu fais après n'a pas grand sens.

Le problème est : on part de y = \dfrac{ax+b}{cx+d} et on essaie de remonter de y à x. Le calcul montre qu'on est amené à un moment à diviser par yc-a. Mais est-ce que ce yc-a ne pourrait pas être identiquement nul ? Pour le savoir, introduire l'espression de y en fonction de x dans yc-a.

Posté par
Cathere : Inverse d?une fonction 02-10-21 à 16:45

Je comprends ce que vous dites au sujet du calcul mais concernant la question qui me demandent pour quelles conditions d'a,b,c et d f-1 existe, c'est un peu troublante.

Posté par
GBZMre : Inverse d?une fonction 02-10-21 à 17:09

As-tu au moins exploré la piste que je te suggère ? Que vaut yc-a en fonction de x ?

Posté par
Cathere : Inverse d?une fonction 02-10-21 à 19:23

Je viens juste de le faire et ce n'est pas nulle.

Posté par
GBZMre : Inverse d?une fonction 02-10-21 à 22:40

Je repose ma question : que vaut yc-a en fonction de x ?

Posté par
Cathere : Inverse d?une fonction 03-10-21 à 00:36

Y=f(x)=(ax+b)/(cx+d).                                                                                                              
Donc, yc-a=[(ax+b)/(cx+d)]c-a.                                                                                                    
Yc-a=(axc+bc-a)/(cx+d).                                                                                                
Je ne peux pas continuer parce que je ne sais pas très bien comment procéder. Je doute d?ailleurs que le début soit correct.

Posté par
Cathere : Inverse d?une fonction 03-10-21 à 06:04

Ce que je me demande également, est-ce que je ne pourrais pas procéder de la sorte:          
F-1(f(x))=b-d[(ax+b)/(cx+d)]/c[(ax+b)/(cx+d)]-a.                                                                                        
F-1( f(x))=(-dax-bd+bcx+bd)/(acx +bc-acx -ad).                                                                                                                          
F-1 (f(x))=[(ad-bc)/(ad-bc)] x .                                                                                                      
Ainsi, ce serait possible pour ad-bc0

Posté par
GBZMre : Inverse d?une fonction 03-10-21 à 10:18

Ça serait tout de même mieux si tu pouvais calculer correctement

\large c\dfrac{ax+b}{cx+d} - a .

Posté par
Cathere : Inverse d?une fonction 03-10-21 à 16:46

A ce moment, j?aurais:                                                                                              
acx+bc-acx-ad =bc-ad.                                                                                                                  
Ai-je maintenant tout résolu?

Posté par
GBZMre : Inverse d?une fonction 03-10-21 à 17:53

Tu as calculé yc-a, en oubliant d'ailleurs le dénominateur.

yc-a, c'était la quantité par laquelle tu divisais pour obtenir x en fonction de y.

Maintenant, tu dois réfléchir et tirer les conclusions de ce calcul.

Posté par
Cathere : Inverse d?une fonction 03-10-21 à 18:12

Je n'ai pas oublié le dénominateur. J'ai juste pensé que je pourrais l'éliminer en multipliant-a par cx+d.


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