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Inverse d'une matrice

Posté par
liloudvb 16-01-22 à 12:02

Bonjour à tous,

Je rencontre un petit problème avec l'inversion d'une matrice.
Je dois inverser la matrice suivante :

P =\begin{pmatrix} 1&1 &-1 \\ 0&-1&1 \\ -1&0&1 \end{pmatrix}

J'utilise donc l'égalité PX = B avec X = \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} et B = \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}

J'obtiens donc la matrice augmentée suivante :

\begin{pmatrix} 1&1 &-1 \\ 0&-1&1 \\ -1&0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}

Puis en échelonnant (L3 \leftarrow L3+L1), cela me donne

\begin{pmatrix} 1&1 &-1 \\ 0&-1&1 \\0 &1&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\\ b\\ c+a \end{pmatrix}

Ce qui me donne :
y = a+c \\ z=b+y=b+a+c \\ x=a-y+z=b+a

Selon mes calculs, P^-^1 = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 \\ 1&0 &1 \\ 0 &1 &1 \end{pmatrix}
Or selon la calculette le réel inverse est P^-^1 = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 \\ 1&0 &1 \\ 1 &1 &1 \end{pmatrix}

Je remarque bien que la matrice que j'obtiens est la transposée de la bonne réponse, mais lors de tous mes autres calculs d'inverse je mettais les x, y, z en colonne et j'obtenais le bon résultat.

J'ai donc du faire une erreur de calcul bête mais je ne trouve pas mon erreur.

Merci d'avance pour votre aide !

Posté par
GBZMre : Inverse d'une matrice 16-01-22 à 12:17

Bionjour,

J'espère que dans ta rédaction tu n'écris pas la matrice augmentée comme égalité entre une matrice 3x3 et une matrice-colonne !

Ton échelonnement n'est pas fini. Tu devrais terminer tes opérations sur les lignes (ajouter à une ligne un multiple d'une autre ligne, échanger des lignes,  multiplier une ligne par un scalaire non nul) pour avoir dans le bloc de gauche la matrice identité de taille 3.

Posté par
GBZMre : Inverse d'une matrice 16-01-22 à 12:18

Ton profil n'est pas à jour.

Posté par
liloudvbre : Inverse d'une matrice 16-01-22 à 12:27

Merci pour votre réponse !
Lors de la rédaction j'écris ma matrice augmentée de matrice classique (je n'ai pas réussi à l'écrire en Latex).

Cependant je viens d'échelonner ma matrice jusqu'à obtenir la matrice identité et j'aboutis au même résultat que précédemment...

Posté par
liloudvbre : Inverse d'une matrice 16-01-22 à 12:42

* de manière classique

Posté par
GBZMre : Inverse d'une matrice 16-01-22 à 14:18

Tu aboutis à

\begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}=P^{-1}\begin{pmatrix} a\\b\\c\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a+b\\a+c\\a+b+c\end{pmatrix}\;.
C'est donc bien que

P^{-1}=\begin{pmatrix} 1&1&0\\1&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}\;.


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