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Inverse matrice

Posté par
lolo5959 14-03-05 à 19:54

Bonjour,

Je cherche à montrer que l'inverse d'une matrice triangulaire inférieure est une matrice triangulaire inférieure.

Mais je ne vois pas comment montrer cela: j'ai déjà essayé plusieurs pistes qui ne mènent à rien (travail sur la matrice, résolutions des équations...)

Si queqlqu'un avait une petite idée :?

Merci beaucoup

Posté par
Nightmarere : Inverse matrice 14-03-05 à 20:15

Bonjour

Soit \rm A\in T_{n,s}(K)\cap GL_{n}(K)

\rm \forall M\in T_{n,s}(K) , AM\in T_{n,s}(K) .
Ce résultat nous permet de considérer l'application :
\rm\begin{tabular} f_{A} : &T_{n,s}(K)& &\to& T_{n,s}(K)\\&M&&\to& AM\end{tabular}

2$\rm\begin{tabular} \forall \alpha\in K , \forall(M,N)\in(T_{n,s}(K))^{2} , f_{A}(\alpha M+N)&=&A(\alpha M+N)\\&=&\alpha AM+AN\\&=&\alpha f_{A}(M)+f_{A}(M)\\&\Longrightarrow& f_{A} est lineaire\end{tabular}

2$\rm \forall M\in T_{n,s}(K) : f_{A}(M)=0\Longleftrightarrow AM=0\Longrightarrow A^{-1}(AM)=0\Longrightarrow M=0\Longrightarrow f_{A} est injective

Puisque f_{A} est un endomorphisme injectif d'un ev de dimension finie , f_{A} est bijectif .
Comme I_{n}\in T_{n,s}(K) , \exist B\in T_{n,s}(K) telle que f_{A}(B)=I_{n} . Alors 4$\fbox{A^{-1}=B\in T_{n,s}(K)}


Jord

Posté par
Nightmarere : Inverse matrice 14-03-05 à 20:29

Alors évidemment , on me demande un résultat pour les matrices triangulaire inférieur , et moi je fais pour les supérieurs . Bravo Nightmare

Tu auras compris le raisonnement


Jord

Posté par
lolo5959re : Inverse matrice 14-03-05 à 21:39

Merci beaucoup Nightmare.
C'est vrai que tu as fait pour les supérieures, mais ce que je voulais surtout, c'est le raisonnement,donc peu importe....

Mais juste une question qui n'a aucun rapport: j'ai vu dans ton profil que tu étais en seconde, mais pas seconde en lycée quand-même???
Sinon, je sais pas comment tu fais pour répondre à tout ce que tu réponds dans le supérieur!!!!!!

En tout cas, encore merci.

Posté par
Nightmarere : Inverse matrice 14-03-05 à 21:41

lol , si , je suis en 2nd , juste passioné des maths

Je travaille en ce moment sur les K-ev et matrices alors bon , c'était aussi un exercice pour moi que de te répondre


Jord

Posté par
lolo5959re : Inverse matrice 14-03-05 à 21:42

Ah bah chapeau alors...

Posté par
Nightmarere : Inverse matrice 14-03-05 à 21:45

Merci


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