Niveau Maths sup

Inverse pivot de Gauss

Posté par jacko78 (invité) 02-04-05 à 12:41

Bonjour, voila je m'arrache les cheveux sur l'exercice suivant : il faut en fait trouver l'inverse de la matrice suivante : $4$C=$\array{\\&m&-1&-1\\&-1&m&-1\\&-1&-1&m}$$ avec m un reel. Pour cela il faut donc utiliser le pivot de Gauss et comme ca les conditions sur m apparaissent directement, voici mon raisonnement :

Je pars de la matrice C :

- J'echange L₁ et L₂ pour avoir $\array{\\&-1&m&-1\\&m&-1&-1\\&-1&-1&m}$

- Je fais les operations $\textrm L_2 \leftarrow L_2+mL_1 et L_3 \leftarrow L_3 -L_1$ pour avoir $\array{\\&-1&m&-1\\&0&m^2-1&-(m+1)\\&0&-(m+1)&m+1}$

- On remarque que m doit etre different de -1 pour que C soit inversible, et si cela est le cas, on effectue l'operation $L_2 \leftrightarrow L_3$ pour avoir $\array{\\&-1&m&-1\\&0&-(m+1)&m+1\\&0&(m+1)(m-1)&-(m+1)}$

- On effectue alors les operations $L_1 \leftarrow L_1+\frac{m}{m+1}L_2 et L_3 \leftarrow L_3+(m-1)L_2$ et on obtient alors $\array{\\&-1&0&m-1\\&0&-(m+1)&m+1\\&0&0&(m+1)(m-2)}$

- On remarque alors que m doit aussi etre different de 2 pour que C soit inversible, et si cela est le cas, on effectue les operations $\textrm L_1 \leftarrow L_1-\frac{m-1}{(m+1)(m-2)}L_3 et L_2 \leftarrow L_2-\frac{1}{m-2}L_3$ pour finalement obtenir la matrice $\array{\\&-1&0&0\\&0&-(m+1)&0\\&0&0&(m+1)(m-2)}$

Ouf...

Donc si je n'ai pas fait d'erreur voila ce que l'on obtient comme matrice, j'ai pris soin de donner a chaque fois les operations sur les lignes car je dois ensuite si je ne me trompe pas effectuer le meme boulot sur la matrice identité d'ordre 3 dans le meme ordre, et la : stupeur, je ne trouve pas un resultat qui fonctionne et je me prend la tete dessus donc si quelqu'un pouvait me donner ce qu'il obtient ce serait super…
Merci a tous

édit Océane

Posté par jayrhum (invité)re : Inverse pivot de Gauss 02-04-05 à 14:05

Salut,

Je vais faire les étapes que j'ai faites sur le papier.

Bon alors c'est vrai que les valeurs -1 et 2 se révélent suspectes facilement. (matrices de rang <3)
Alors c'est parti:

$\array{3,c.cccBCCC$&1&2&3\\\hdash~1&m&-1&-1\\2&-1&m&-1&\\3&-1&-1&m}$

$L2<-L2-L1$
$L3<-L3-L1$

$\array{3,c.cccBCCC$&1&2&3\\\hdash~1&m&-1&-1\\2&-(m+1)&m+1&0&\\3&-(m+1)&0&m+1}$

$L1<-L1+\frac{1}{m+1}L2$

$\array{3,c.cccBCCC$&1&2&3\\\hdash~1&m-1&0&-1\\2&-(m+1)&m+1&0&\\3&-(m+1)&0&m+1}$

$L1<-L1+\frac{1}{m+1}L3$

$\array{3,c.cccBCCC$&1&2&3\\\hdash~1&m-2&0&0\\2&-(m+1)&m+1&0&\\3&-(m+1)&0&m+1}$

$L2<-L2+\frac{m+1}{m-2}L1$
$L3<-L3+\frac{m+1}{m-2}L1$

$\array{3,c.cccBCCC$&1&2&3\\\hdash~1&m-2&0&0\\2&0&m+1&0\\3&0&0&m+1}$

$L1<-\frac{1}{m-2}L1$
$L2<-\frac{1}{m+1}L2$
$L3<-\frac{1}{m+1}L3$

$\array{3,c.cccBCCC$&1&2&3\\\hdash~1&1&0&0\\2&0&1&0\\3&0&0&1}$

On est arrivé à l'identité, on reprend les opérations sur les lignes que l'on a effectuées et c'est reparti pour un tour:

$\array{3,c.cccBCCC$&1&2&3\\\hdash~1&1&0&0\\2&0&1&0\\3&0&0&1}$

$L2<-L2-L1$
$L3<-L3-L1$

$\array{3,c.cccBCCC$&1&2&3\\\hdash~1&1&0&0\\2&-1&1&0\\3&-1&0&1}$

$L1<-L1+\frac{1}{m+1}L2$

$\array{3,c.cccBCCC$&1&2&3\\\hdash~1&\frac{m}{m+1}&\frac{1}{m+1}&0\\2&-1&1&0\\3&-1&0&1}$

$L1<-L1+\frac{1}{m+1}L3$

$\array{3,c.cccBCCC$&1&2&3\\\hdash~1&\frac{m-1}{m+1}&\frac{1}{m+1}&\frac{1}{m+1}\\2&-1&1&0\\3&-1&0&1}$

$L2<-L2+\frac{m+1}{m-2}L1$
$L3<-L3+\frac{m+1}{m-2}L1$

$\array{3,c.cccBCCC$&1&2&3\\\hdash~1&\frac{m-1}{m+1}&\frac{1}{m+1}&\frac{1}{m+1}\\2&\frac{1}{m-2}&\frac{m-1}{m-2}&\frac{1}{m-2}\\3&\frac{1}{m-2}&\frac{1}{m-2}&\frac{m-1}{m-2}}$

$L1<-\frac{1}{m-2}L1$
$L2<-\frac{1}{m+1}L2$
$L3<-\frac{1}{m+1}L3$

$\frac{1}{(m+1)(m-2)}$\array{3,c.cccBCCC$&1&2&3\\\hdash~1&m-1&1&1\\2&1&m-1&1\\3&1&1&m-1}$ = C^{-1}$

J'espère que des erreurs de frappe ne se sont pas glissées. J'ai vérifié la solution sous MAPLE.

Bon Courage.

Posté par jacko78 (invité)re : Inverse pivot de Gauss 02-04-05 à 14:24

Merci beaucoup jayrhum pour ce travail...
Je suis convaincu de ton resultat, je ne l'ai pas verifié moi meme mais je te fais confiance... Le probleme est qu'il etait specifié d'utiliser la methode du pivot de Gauss comme je l'ai fai precedemment et ensuite d'effectuer les memes étapes sur la matrice identité...
Je connais ta methode qui marche tres bien mais la je n'ai pas le choix malheureusement

Posté par jacko78 (invité)re : Inverse pivot de Gauss 02-04-05 à 14:42

C'est bon j'ai terminé il me manquait simplement les divisions de lignes a la derniere etape, c'est stupide mais bon enfin j'ai ton resultat
Merci pour tout

Posté par jayrhum (invité)re : Inverse pivot de Gauss 02-04-05 à 15:01

Oulà tu m'excuseras, j'avais pas saisi que vous deviez utiliser le pivot de Gauss obligatoirement...
Mais comme je vois que ton problème est réglé et bien c'est

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