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inversibilité d'une mat le rice triangulaire
Bonjour,
J'ai rencontré des problèmes de compréhension dans la la démonstration du théorème d'inversibilité d'une matrice triangulaire qui est le suivant : Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si tous ses éléments diagonaux sont non nuls.
On prend une matrice A triangulaire supérieure de taille n et on suppose qu'il existe un i appartenant à [|1,n|] tel que aii=0. On note Ci pour tout i appartenant à [|1,n|] les vecteurs colonnes de la matrice.
La famille (C1,C2,...............,Ci) est liée , je ne comprends pas pourquoi elle l'est.
Je ne comprends pas pourquoi i vecteurs engendrés par i-1 vecteurs forment une famille liée. Et je ne comprends pas non plus pourquoi l'existence d'une telle famille liée de vecteurs colonnes entraîne le fait que la matrice ne soit pas inversible , car d'après mes souvenirs il faut que tous les vecteurs colonnes de la matrice forment une famille liée pour que celle-ci soit inversible.
Merci d'avance ça m'aiderait énormément si quelqu'un pouvait m'éclairer.
Ta famille est liée car elle est l'image de i+1 vecteurs de R^i dans R^n par l'application naturelle R^i-> R^n qui consiste à ajouter n-i zeros à ta colonne.
Et i+1 vecteurs dans un espace de dimension i sont liés.
Par ailleurs si une sous famille d'une famille de vecteurs est liée, alors la famille elle meme est liée.
car d'après mes souvenirs il faut que tous les vecteurs colonnes de la matrice forment une famille liée pour que celle-ci soit inversible.
C'est ce qu'on peut appeler un "mauvais souvenir ! Un peu de révision me semble souhaitable !
Je ne comprends pas pourquoi i vecteurs engendrés par i-1 vecteurs forment une famille liée.
C'est LE théorème fondamental de la dimension ! Sans le connaître impossible de faire ton exercice !
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