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Niveau maths spé
Inversion complexe d'un cercle, équation
Posté par Maxence1402
Bonjour,
Depuis quelque temps j'essaie de résoudre un problème que j'ai eu il y a assez longtemps, que voici.
Étant donnés et
t.q.
, on cherche à trouver le centre et le rayon de l'image du cercle
par l'inversion
. J'essaie de faire les calculs, en remarquant que
mais je n'arrive pas à mettre sous la forme
. Je me souviens pourtant qu'il existait une méthode purement algébrique qui explicitait
et
.
S'il-vous-plaît, pouvez-vous m'aider ?
Merci par avance.
Justement, je suis arrivé là et je suis bloqué 
J'ai essayé de diviser par mais je sais qu'en général
n'est pas le centre de
.
de toute façon je ne sais pas pourquoi tu cherches un cercle image ... puisque ça n'en pas un un ...
on élève évidemment au carré l'égalité et on se débarrasse des modules grâce au conjugué ...
carpediem @ 17-12-2017 à 18:23
de toute façon je ne sais pas pourquoi tu cherches un cercle image ... puisque ça n'en pas un un ...
on élève évidemment au carré l'égalité et on se débarrasse des modules grâce au conjugué ...
de toute façon je ne sais pas pourquoi tu cherches un cercle image ... puisque ça n'en pas un un ...
on élève évidemment au carré l'égalité et on se débarrasse des modules grâce au conjugué ...
Mais bien sûr que l'image du cercle est un cercle. J'ai de plus précisé |a| différent de r sinon l'image serait une droite...
C'est bon, j'ai trouvé :
Par ailleurs, impossible de trouver facilement ce calcul sur Google, pourtant il me semble relever d'un problème plutôt courant (au moins en prépa, que j'ai finie 
).
On peut supposer a 
+ et 0 < r < a
C = { a + rexp(it) | t }
f(C) = { 1/(a + revp(it) | t }
Tu cherches b > 0 tel que t 
│b - 1/(a + rexp(it))│ soit constante .
Ou tu poses b := [f(a + r) + f(a - r)]/2 et R := [f(a - r) - f(a + r)]/2 et vérifies que f(C) = = { a + Rexp(it) | t }
Bonsoir,
Avec la valeur absolue, c'est juste.
Une remarque:
La transformation qui à fait correspondre
n'est pas une inversion
L'application z 1/z de 
* sur * est une involution qui correspond à l'involution F : (x,y) (x/(x² + y²) , -y/(x² + y²)) de ² \ { (0 , 0) } sur lui-même .
Si (X,Y) = F(x,y) on a donc (x,y) = F(X,Y) et inversement .
Soient a et r des réels vérifiant a > r > 0 et C(a,r) le cercle d'équation (x - a)² + y² - r² = 0 .
Si (x,y) C(a,r) et si on pose (X,Y) = F(x,y) on a donc x = X/(X² + Y²) et y = -Y/(X² + Y²) et donc
X² + Y² -2aX/(a² - r²) + 1/(a² - r²) = 0 qui est l'équation du cercle C(b,R) où b = a/(a² - r²) et R = a/(a² - r²)1/2 .
Reste à vérifier que F(C(b,R)) est contenu dans C(a,r) pour avoir F(C(a,r)) = C(b,R)